XantC的博客

XantC

核心思路

参数方程

XantC

定义

几何定义

双曲线x² − y² = 1右支上的点，到y轴距离为cosh θ，到x轴距离为sinh θ，两者正负号不做限定

代数定义

$$ \sinh x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2} $$

$$ \cosh x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2} $$

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微分

$$ \begin{align*} &x=r\cos \theta \\ &y=r\sin \theta \\ &\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}} \\ \end{align*}$$

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公式

f(x)在x = x₀处展开：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \tag{1}$$

$$f(x+x_0)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n \tag{2}$$

x₀ = 0 时的公式，被称作麦克劳林公式

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公式

令f(x) = xⁿ:

∫xⁿe^xdx = f(x)e^x − f^′(x)e^x + f^″(x)e^x − ... + (−1)ⁿf⁽ⁿ⁾e^x

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一阶线性微分方程

一般形式

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Py=Q $$

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导数

三角

(sin x)^′ = cos x

(cos x)^′ = −sin x