双曲函数

XantC

定义

几何定义

双曲线x² − y² = 1右支上的点，到y轴距离为cosh θ，到x轴距离为sinh θ，两者正负号不做限定

代数定义

$$ \sinh x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2} $$

$$ \cosh x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2} $$

$$ \tanh x=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1} $$

$$ \coth x=\frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}-1} $$

$$ \mathrm{sech}\:x=\frac{2}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} $$

$$ \mathrm{csch}\:x=\frac{2}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}} $$

两者关系

由积分与x² − y² = 1的a = 1，可以得到双曲角θ为它与双曲线所夹面积的2倍，再通过一系列计算,就可以得到sinh θ与sinh θ的指数形式

计算过程

$$ \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\cosh\alpha\sinh\alpha-\int^{\cosh\alpha}_{1}\sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x $$

令x = sec θ, 则 dx = sec θtan θ dθ

$$ \begin{align*} \Rightarrow\int\sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x&=\int\sec\theta\tan^2\theta\mathrm{d}\theta\\ &=\sec\theta\tan\theta-\int\sec^3\theta\mathrm{d}\theta \\ &=\frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta-\frac{1}{2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|\\ &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \end{align*} $$

$$ \Rightarrow \int^{\cosh\alpha}_{1}\sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cosh\alpha\sinh\alpha-\frac{1}{2}\ln(\cosh\alpha+\sinh\alpha) $$

$$ \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\ln(\cosh\alpha+\sinh\alpha) $$

$$ \Rightarrow \begin{cases} \cosh\alpha+\sinh\alpha=\mathrm{e}^{\alpha}\\ \cosh^2\alpha=\sinh^2\alpha+1 \\ \end{cases} $$

$$ \therefore \begin{cases} \displaystyle\cosh\alpha=\frac{\mathrm{e}^{\alpha}+\mathrm{e}^{-\alpha}}{2}\\ \displaystyle\sinh\alpha=\frac{\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}}{2} \end{cases} $$

基本定理

cosh x = cos ix

isinh x = sin ix

cosh²x − sinh²x = 1

三角公式转换为双曲公式

Osborn’s Rule

只有sin²x转到sinh²x时要变号

证明

待定

反双曲

$$ \mathrm{arsinh}\:x=\ln\,(x+\sqrt{x^2+1}) $$

$$ \mathrm{arcosh}\:x=\ln\,(x+\sqrt{x^2-1})\enspace(x\geq1) $$

$$ \mathrm{artanh}\:x=\frac{1}{2}\ln\,(\frac{1+x}{1-x})\enspace(\lvert x\rvert<1) $$

求导

(sinh x)^′ = cosh x

(cosh x)^′ = sinh x

(tanh x)^′ = sech²x

(coth x)^′ = −csch²x

(sech x)^′ = −sech xtanh x

(csch x)^′ = −csch xcoth x

积分

∫sech x = 2arctan  (e^x) + C

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{arsinh}\:x+\mathrm{C} $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\mathrm{arcosh}\:x+\mathrm{C} $$

$$ \int \frac{1}{1-x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{artanh}\:x+\mathrm{C} $$