解微分方程

发表于 2023-08-18 更新于 2026-08-20 分类于数学

XantC

一阶线性微分方程

一般形式

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Py=Q $$

求解

可分离变量的微分方程

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y) $$ $$ \int\frac{1}{g(y)}\mathrm{d}y=\int f(x)\mathrm{d}x+\mathrm{C} $$

通解

$$凑\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(uv)=u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Py=Q \tag{1}$$

$$ f(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+f(x)Py=f(x)Q $$

∵(f(x)y)^′ = f(x)y^′ + f^′(x)y

∴ f^′(x) = f(x)P

∴ f(x) = e^∫Pdx

$$ (2) \to (1) \colon e^{\int P\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^{\int P\mathrm{d}x}Py=e^{\int P\mathrm{d}x}Q $$

(e^∫Pdxy)^′ = e^∫PdxQ

∴ e^∫Pdxy = ∫e^∫PdxQdx + C

代换法

令u = f(x, y)，代入进原方程，得到一个u关于x的方程，求解，然后再把y = f(x, u)回代即可

应用

伯努利方程

$$ 对于\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Py=Qy^n \colon $$

令z = y^1 − n

$$ 则\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}-P(n-1)z=-Q(n-1) $$

证明：

先设z = y^k

$$ 则 \enspace \frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}z^{\frac{1-k}{k}}+Pz^{\frac{1}{k}}=Qz^{\frac{n}{k}} $$

$$ 为凑得\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+Pz=Q\colon $$

$$ \frac{1-k}{k}=\frac{n}{k} $$

∴ k = 1 − n

∴ z = y^1 − n

$$ \therefore \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}-P(n-1)z=-Q(n-1) $$

二阶变系数线性微分方程

一般形式

$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f(x) $$

求解

对于已知齐次通解求非齐次通解:

$$ \begin{align*} y&=\mathrm{C_1}y_1+\mathrm{C_2}y_2 \\ &=y_1v_1+y_2v_2 \end{align*} $$

⇒ y^′ = y₁v₁^′ + y₂v₂^′ + y₁^′v₁ + y₂^′v₂

要得到关于v₁^′, v₂^′的二元一次方程组 ⇒ y^′中不含v₁^′和v₂^′

∴ y₁v₁^′ + y₂v₂^′ = 0

y^′ = y₁^′v₁ + y₂^′v₂

⇒ y^″ = y₁^′v₁^′ + y₂^′v₂^′ + y₁^″v₁ + y₂^″v₂

⇒ y₁^′v₁^′ + y₂^′v₂^′ + y₁^″v₁ + y₂^″v₂ + P(y₁^′v₁ + y₂^′v₂) + Q(y₁v₁ + y₂v₂) = f

y₁^′v₁^′ + y₂^′v₂^′ + v₁(y₁^″ + Py₁^′ + Qy₁) + v₂(y₂^″ + Py₂^′ + Qy₂) = f

∴ y₁^′v₁^′ + y₂^′v₂^′ = f

$$ \begin{cases} y_1v_1^{'}+y_2v_2^{'}=0\\ y_1^{'}v_1^{'}+y_2^{'}v_2^{'}=f \end{cases} $$

$$ W=\begin{vmatrix} y_1&y_2\\ y_1^{'}&y_2^{'} \end{vmatrix},v_1^{'}=-\frac{y_2f}{W}, v_2^{'}=\frac{y_1f}{W} $$

$$ v_1=\mathrm{C_1}+\int(-\frac{y_2f}{W})\mathrm{d}x, v_2=\mathrm{C_2}+\int\frac{y_1f}{W}\mathrm{d}x $$

$$ \therefore y=\mathrm{C_1}y_1+\mathrm{C_2}y_2-y_1\int\frac{y_2f}{W}\mathrm{d}x+y_2\int\frac{y_1f}{W}\mathrm{d}x $$

二阶常系数线性微分方程

一般形式

$$ a\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+cy=f(x) $$

求解

一般方法

先处理f(x) = 0的情况：

ay^″ + by^′ + cy = 0

只有y = Ae^mx可能符合这个方程

∴ Aam²e^mx + Abme^mx + Ace^mx = 0

am² + bm + c = 0

Case 1 两不等实根

Case 1: b² > 4ac

令 m = p, q (p ≠ q)

∴ y^″ − (p + q)y^′ + pqy = 0

$$ \int \frac{(y^{'}-py)^{'}}{y^{'}-py} \mathrm{d}x=\int q\mathrm{d}x + \mathrm{C}_1 $$

ln (y^′ − py) = qx + C₁

∴ y^′ − py = Ae^qx

$$ e^{-px}y=\frac{\mathrm{A}}{q-p}e^{qx-px}+\mathrm{C}_2 $$

$$ y=\frac{\mathrm{A}}{q-p}e^{qx}+\mathrm{C}_2e^{px}$$

∴ y = Ae^px + Be^qx

Case 2 两相等实根

Case 2: b² = 4ac

令 m = p, q (p = q)

同Case 1理: y^′ − py = Ae^qx

e^−pxy^′ − pe^−pyy = A

e^−pxy = Ax + B

∴ y = (Ax + B)e^px

Case 3 两复数根

Case 3: b² < 4ac

令 m = u, v (u = p + qi, v = p − qi)

同Case 1理: y = Ae^ux + Be^vx

y = Ae^{(p + qi)x} + Be^{(p − qi)x}

y = e^px(Ae^qxi + Be^−qxi)

y = e^px[A(cos (qx) + isin (qx)) + B(cos (qx) − isin (qx))]

y = e^px[(A + B)cos (qx) + i(A − B)sin (qx)]

y = e^px(Acos (qx) + Bsin (qx))

$$ \therefore y=\begin{cases} \mathrm{A}e^{px}+\mathrm{B}e^{qx}& b^2>4ac\\ (\mathrm{A}x+\mathrm{B})e^{px}& b^2=4ac\\ \mathrm{e}^{px}(\mathrm{A}\cos(qx)+\mathrm{B}\sin(qx))& b^2<4ac \end{cases} $$

再处理f(x) ≠ 0的情况：

此时要找到方程ay₁^″ + by₁^′ + cy₁ = f(x)的特解，再把y₁与f(x) = 0时的一般解(记为y₂)相加，那么y = y₁ + y₂就是一般解了

有一个函数对应特解的表格：

f(x)	特解
k	λ
kx + m	λx + μ
kx² + mx + n	λx² + μx + ν
ke^px	ke^px
mcos px + nsin px	mcos px + nsin px

总之思路是：想着一个函数要怎么凑，能凑成它自己和它的一阶、二阶导函数的线性组合能等于零

如果一般解和特解中有项是重合的，可以试着把特解乘一个x

特殊方法

代换法

如碰到$ax^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+bx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+cy=0$的方程，可以令x = e^u，然后得到：

$$ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}*\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \\ &=x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{align*} $$

$$ \therefore x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} $$

$$ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}) \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}) \\ &=x(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}x) \\ &=x\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \\ &=x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \end{align*} $$

$$ \therefore x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} $$

思路是用$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}$和$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$，把$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}和\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$表示出来，进而：

$$ a(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u})+b(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u})+cy=0 $$

之后解出y关于u的方程，再把x = e^u代入即可

泰勒展开