泰勒展开

XantC

公式

f(x)在x = x₀处展开：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \tag{1}$$

$$f(x+x_0)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n \tag{2}$$

x₀ = 0 时的公式，被称作麦克劳林公式

解释

在x = x₀处展开的意义：能用尽量少的项来表示某点的函数值，简便计算

收敛域

if x ∈ D, lim_{x → ∞}R_n(x) = 0

证明

假设f(x)可以表示成一个多项式函数：

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ + …

$$ \begin{align*} 则\colon\enspace f^{'}(x)&=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\dots+na_nx^{n-1}+\dots \\ f^{''}(x)&=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\dots+n(n-1)a_nx^{n-2}+\dots \\ ...... \end{align*} $$

∴ f(0) = a₀, f^′(0) = a₁, f^″(0) = 2a₂, f^‴(0) = 6a₃...

$$ \therefore a_0=\frac{f(0)}{0!},\ a_1=\frac{f^{'}(0)}{1!},\ a_2=\frac{f^{''}(0)}{2!},\ a_3=\frac{f^{'''}(0)}{3!}... $$

$$ f(x)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f^{'}(0)}{1!}x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{'''}(0)}{3!}x^3... $$

$$ \therefore f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$

以上是函数在x = 0处展开的情况，而在x = x₀处展开就是：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n $$

应用

新的公式

$$ \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots\enspace(x\in\mathbb{R}) $$

$$ \ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\dots\enspace(-1<x\leq1) $$

$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots\enspace(x\in\mathbb{R}) $$

$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\dots\enspace(x\in\mathbb{R}) $$

$$ (1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1)}{n!}x^n+\dots(-1<x<1) $$

能够用来简便计算

$$\begin{align*} \mathrm{e.g.} \enspace \mathrm{e}&=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots+\frac{1}{n!}+\dots \\ \mathrm{sin\frac{\pi}{3}}&=\frac{\pi}{3}-\frac{(\frac{\pi}{3})^3}{3!}+\frac{(\frac{\pi}{3})^5}{5!}+\dots+\frac{(-1)^n(\frac{\pi}{3})^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots \end{align*}$$

互相组合，形成新公式

$$ \begin{align*} \mathrm{e.g.} \enspace \mathrm{e}^{\sin x}&\approx \mathrm{e}^{(x-\frac{x^3}{3!})}\\ &\approx \mathrm{e}^x*\mathrm{e}^{-\frac{x^3}{3!}} \\ &\approx (1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24})*[1+(-\frac{x^3}{6})] \\ &\approx 1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8} \end{align*} $$

解微分方程

考虑泰勒展开的另一种表示方法：

$$y=y_0+\frac{y^{'}(x_0)}{1!}x+\frac{y^{''}(x_0)}{2!}x^2+...$$

可以发现，如果知道了初值x₀和对应的y₀，以及包含着$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$的微分方程，就可以把接下来x₀的二阶导数、三阶导数等等都表示出来，进而得到y的级数解

Newton-Raphson 方法

这个方法可用于求方程的近似数值解

取泰勒展开前两项：

f(x) = f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀)

当f(x) = 0时: f(x₀) + f^′(x₀)(x − x₀) = 0

$$ \therefore x=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{'}(x_0)} $$

$$ 即x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)} $$