极坐标系

XantC

微分

$$ \begin{align*} &x=r\cos \theta \\ &y=r\sin \theta \\ &\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}} \\ \end{align*}$$

$$ 平行于极轴\colon{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}}=0 $$

$$ 垂直于极轴\colon{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}}=0 $$

积分

$$ \mathrm{S}=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2\mathrm{d}\theta $$

证明

$$ \begin{align*} \mathrm{S}&=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta_{i} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2\mathrm{d}\theta \end{align*} $$

作图

对于r = a(p + qcos θ) (p ≥ q):

当p = q:

当q < p < 2q:

当p ≥ 2q:

证明

证明图像有没有凹口，相当于证它切线垂直于极轴的点的个数大于2

证明：

x = rcos θ = acos θ(p + qcos θ)

x = apcos θ + aqcos²θ

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}=-ap\sin\theta-2aq\sin\theta\cos\theta=0$$

$$ \sin\theta=0\enspace\mathrm{or}\;\cos\theta=-\frac{p}{2q} $$

Case 1 有凹口

Case 1.1: p = q

$$ \therefore -\frac{p}{2q}=-\frac{1}{2} $$

$$ \therefore \theta=0,\pi,\pm\frac{2}{3}\pi $$

其中θ = π时，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}$和$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}$都为零，再观察图像，发现切线其实是平行于极轴的，所以$\theta=0,\pm\frac{2}{3}\pi$,有凹口

 

Case 1.2: q < p < 2q

$$ \therefore -1<-\frac{p}{2q}<1 $$

$$ \therefore \theta=0,\pi,\arccos(-\frac{p}{2q}),(2\pi-\arccos(-\frac{p}{2q})) $$

θ有四个解，所以图像有凹口

Case 2 无凹口

Case 2: p ≥ 2q

$$ \therefore -\frac{p}{2q}\leq-1 $$

$$ \because\sin\theta=0\enspace\mathrm{or}\;\cos\theta=-\frac{p}{2q}$$

∴ θ = 0, π

θ有两个解，所以图像无凹口