圆锥曲线求导

XantC

核心思路

参数方程

椭圆

笛卡尔方程

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

参数方程

$$ \begin{cases} x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta \end{cases} $$

切线法线方程

切线：aysin θ + bxcos θ = ab

法线：bycos θ = axsin θ + (b² − a²)sin θcos θ

双曲线

标准双曲线

笛卡尔方程

$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$

参数方程

$$ \begin{aligned} & \begin{cases} x=a\cosh\theta \\ y=b\sinh\theta \end{cases} \quad \text{或} \quad \begin{cases} x=a\sec\theta \\ y=b\tan\theta \end{cases} \end{aligned} $$

切线法线方程

$$\begin{align*} \text{在双曲参数下，} 切线：&ay\sinh\theta+ab=bx\cosh\theta \\ 法线：&by\cosh\theta+ax\sinh\theta=(a^2+b^2)\sinh\theta\cosh\theta \\ \text{在三角参数下，} 切线：&ay\tan\theta+ab=bx\sec\theta \\ 法线：&by\sec\theta+ax\tan\theta=(a^2+b^2)\sec\theta\tan\theta \end{align*}$$

矩形双曲线

笛卡尔方程

xy = c²

参数方程

$$ \begin{cases} x=ct \\ y=\frac{c}{t} \end{cases} $$

切线法线方程

切线：x + t²y = 2ct

法线：t³x − ty = c(t⁴ − 1)

抛物线

笛卡尔方程

y² = 4ax

参数方程

$$ \begin{cases} x=at^2 \\ y=2at \end{cases} $$

切线法线方程

切线：ty = x + at²

法线：y + tx = 2at + at³