双曲函数
XantC
定义
几何定义
双曲线\(x^2-y^2=1\)右支上的点，到y轴距离为\(\cosh \theta\)，到x轴距离为\(\sinh\theta\)，两者正负号不做限定
代数定义
\[ \sinh x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2} \]
\[ \cosh x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2} \]
极坐标系
XantC
微分
\[ \begin{align*} &x=r\cos \theta \\ &y=r\sin \theta \\ &\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}} \\ \end{align*}\]
泰勒展开
XantC
公式
\(f(x)\)在\(x=x_0\)处展开：
\[f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \tag{1}\]
\[f(x+x_0)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n \tag{2}\]
\(x_0=0\) 时的公式，被称作麦克劳林公式
伽马函数
XantC
公式
\[ 令f(x)=x^n \colon \]
\[ \int x^n\mathrm{e}^xdx=f(x)\mathrm{e}^x-f^{'}(x)\mathrm{e}^x+f^{''}(x)\mathrm{e}^x-...+(-1)^{n}f^{(n)}\mathrm{e}^x \]