周期函数

XantC

定义

f(x + T) = f(x) (T ≠ 0)

有周期性的抽象函数

f(x + a) = f(x) ⇒ T = a

f(x + a) = −f(x) ⇒ T = a

$$ f(x+a)=\pm\frac{1}{f(x)}\Rightarrow T=2a \tag{3} $$

f(x + a) = f(x − a) ⇒ T = 2a

$$ f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a \tag{5}$$

$$ f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a \tag{6} $$

f(x) = f(x − m) + f(x + m) ⇒ T = 6m

定理

关于两条直线对称

y = f(x)关于A(a, y₀)，B(b, y₀)对称，则T = 2(b − a)

证明

$$ \begin{cases} f(a+x)+f(a-x)=2y_0\\ f(b+x)+f(b-x)=2y_0\\ \end{cases} $$

$$ \begin{align*} \Rightarrow f[x+2(b-a)]&=f[b+(x+b-2a)] \\ &=2y_0-f[b-(x+b-2a)] \\ &=2y_0-f(2a-x) \\ &=2y_0-\left\{2y_0-f[a-(a-x)]\right\}\\ &=f(x) \end{align*} $$

∴ f[x + 2(b − a)] = f(x)

关于一点一线对称

y = f(x)关于(m, n)，x = a对称(a ≠ 0, m ≠ a)，则T = 4(m − a)

证明

$$ \begin{cases} 2n-f(x)=f(2m-x)\\ f(2a-x)=f(x) \end{cases} $$

$$ \Rightarrow\begin{cases} 2n-f(2a-x)=f(2m-x) \\ 2n-f(2a-x)=f(2m-2a+x)\\ \end{cases} $$

 ⇒ 2n − f(x) = f(2m − 2a + x)

 ⇒ 2n − f(2m − 2a + x) = f(4m − 4a + x)

 ⇒ 2n − (2n − f(x)) = f(4m − 4a + x)

∴ f[4(m − a) + x] = f(x)