极限

XantC

数列极限

定义

lim_{n → ∞}a_n = L

 ⇔ ∀ϵ > 0, ∃N, s.t. if n > N, then |a_n − L| < ε

极限存在准则

夹逼定理

∃n₀ ∈ ℕ, s.t. n > n₀, x_n ≤ y_n ≤ z_n, lim_{n → ∞}x_n = lim_{x → ∞}z_n = a

 ⇒ lim_{n → ∞}y_n = a

单调有界

单调有界数列必有极限

柯西极限存在准则

∀ϵ > 0, ∃N ∈ ℤ^*, s.t. m > N, n > N, |x_m − x_n| < ϵ

 ⇔ lim_{n → ∞}x_n = a

函数极限

定义

lim_x → af(x) = L

 ⇔ ∀ϵ > 0, ∃δ, s.t. if 0 < |x − a| < δ, then |f(x) − L| < ε

(δ = δ(a, ε))

单边极限

lim_{x → a⁺}f(x) = L

 ⇔ ∀ϵ > 0, ∃δ, s.t. if a < x < a + δ, then |f(x) − L| < ε

lim_{x → a⁻}f(x) = L

 ⇔ ∀ϵ > 0, ∃δ, s.t. if a − δ < x < a, then |f(x) − L| < ε

无穷极限

lim_x → af(x) = ∞

 ⇔ ∀M > 0, ∃δ, s.t. if x ∈ Ů(a, δ), then f(x) > M

lim_x → af(x) = −∞

 ⇔ ∀N < 0, ∃δ, s.t. if x ∈ Ů(a, δ), then f(x) < N

连续性

lim_x → af(x) = f(a)

lim_{Δx → 0}Δy = 0

证正弦连续性

$$ \begin{align*} |\Delta y|&=|\sin(x+\Delta x)-\sin x|\\ &=|2\sin(\frac{\Delta x}{2})\cos(x+\frac{\Delta x}{2})|\\ &\leq |2(\frac{\Delta x}{2})\cdot 1|\\ &=|\Delta x| \end{align*} $$

 ⇒ 0 ≤ |Δy| ≤ |Δx|

∴ lim_{Δx → 0}Δy = 0

定理

极限存在准则

同数列

局部保号性及推论

lim_x → af(x) > 0 ⇒ f(x) > 0 (x ∈ Ů(a, δ))

f(x) ≥ 0 ⇒ lim_x → af(x) ≥ 0

f(x) ≤ g(x) ⇒ lim_x → af(x) ≤ lim_x → ag(x) ★

证明保号性

if 0 < |x − a| < δ, then L − ε < f(x) < L + ε

$$ \varepsilon=L\colon L-\frac{L}{2}<f(x) $$

$$ \Rightarrow f(x)>\frac{L}{2}>0 $$

∴ f(x) > 0 (x ∈ Ů(a, δ))

夹逼定理

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), lim_x → af(x) = lim_x → ah(x) = L ⇒ lim_x → ag(x) = L

证明

$$ \begin{cases} x\in\mathring{U}(a,\delta_1)\Rightarrow L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon\\ x\in\mathring{U}(a,\delta_2)\Rightarrow L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon \end{cases} $$

let δ = min (δ₁, δ₂)

x ∈ Ů(a, δ) ⇒ L − ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε

 ⇒ L − ε ≤ g(x) ≤ L − ε

∴ lim_x → ag(x) = L

洛必达法则

lim_x → af(x) = lim_x → ag(x) = 0 orlim_x → af(x) = lim_x → ag(x) = ∞

∃f^′(x), g^′(x), x ∈ Ů(a)

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} $$

证明

For: f(a) = g(a) = 0

∃ξ ∈ (x, a) or (a, x)

$$ \text{s.t.}\, \frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f(x)}{g(x)} $$

x → a ⇒ ξ → a

$$ \therefore \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} $$

For: f(a) = g(a) = ∞

$$ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}=\frac{0}{0} $$

$$ \Rightarrow \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{(\frac{1}{g(x)})^{'}}{(\frac{1}{f(x)})^{'}}=\lim_{x\to a}\frac{g^{'}(x)f^2(x)}{f^{'}(x)g^2(x)} $$

$$ \therefore \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} $$

计算

运算法则

lim_x → a[f(x) + g(x)] = lim_x → af(x) + lim_x → ag(x)

lim_x → a[f(x) − g(x)] = lim_x → af(x) − lim_x → ag(x)

lim_x → a[cf(x)] = clim_x → af(x)

lim_x → a[f(x)g(x)] = lim_x → af(x) ⋅ lim_x → ag(x)

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}\;(\lim_{x\to a}g(x)\neq0) \tag{5} $$

lim_x → af(g(x)) = f(lim_x → ag(x)) = f(u₀) (lim_u → u0f(u) = f(u₀))

lim_x → a[f(x)]ⁿ = [lim_x → af(x)]ⁿ

$$ \lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)} \tag{8} $$

lim_x → ac = c

lim_x → ax = a

lim_x → axⁿ = aⁿ

证明加法运算

lim_x → a[f(x) + g(x)] = lim_x → af(x) + lim_x → ag(x):

lim_x → af(x) = L, lim_x → ag(x) = M

$$ \begin{cases} 0<|x-a|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2} \\ 0<|x-a|<\delta_2\Rightarrow|g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2} \\ \end{cases} $$

let δ = min (δ₁, δ₂)

∵0 < |x − a| < δ

$$ \therefore \begin{cases} |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}\\ |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2} \end{cases}$$

$$ \begin{align*} \Rightarrow |f(x)+g(x)-L-M|&\leq|f(x)-L|+|g(x)-M| \\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \\ &=\varepsilon \end{align*} $$

∴ |f(x) + g(x) − L − M| < ε

∴ lim_x → a[f(x) + g(x)] = lim_x → af(x) + lim_x → ag(x)

证明复合函数运算

u = g(x), lim_x → ag(x) = u₀, lim_u → u0f(u) = f(u₀)

 ⇒ lim_x → af(g(x)) = f(lim_x → ag(x)) = f(u₀):

$$ \begin{cases} \text{if}\;0<|x-a|<\delta_0, \text{then}\;|g(x)-u_0|<\eta_0 \\ \text{if}\;0<|u-u_0|<\eta_0, \text{then}\;|f(u)-f(u_0)|<\varepsilon_0 \end{cases} $$

 ⇒ if 0 < |x − a| < δ₀, then |f(u) − f(u₀)| < ε₀

 ⇒ lim_x → af(u) = f(u₀) = f(lim_x → ag(x))

∴ lim_x → af(g(x)) = f(lim_x → ag(x)) = f(u₀)

无穷小

x → 0: sin x ∼ x, tan x ∼ x

$$ \arcsin x\sim x,\; 1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2 $$

$$ \sqrt[n]{1+x^m}-1\sim \frac{1}{n}x^m $$

未定式极限

分式

$$ \frac{0}{0}=\frac{0^{'}}{0^{'}},\;\frac{\infty}{\infty}=\frac{\infty^{'}}{\infty^{'}} $$

乘式

$$ 0\cdot\infty=\frac{0}{\frac{1}{\infty}}=\frac{\infty}{\frac{1}{0}} $$

减式

∞ − ∞: 通分

次方

∞⁰ = 0⁰ = 1^∞: lim u^v = e^{lim vln u}

重要极限

第一类重要极限

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$

证明

sin x < x < tan x

$$ 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x} $$

$$ \therefore \cos x<\frac{\sin x}{x}<1 $$

$$ \begin{align*} \cos x&=1-2\sin^2(\frac{x}{2}) \\ &>1-2(\frac{x}{2})^2 \\ &=1-\frac{x^2}{2} \end{align*}$$

sin x < tan x ⇒ cos x < 1

$$ \therefore 1-\frac{x^2}{2}<\cos x<1 $$

$$ \Rightarrow \lim_{x\to 0}\cos x=\lim_{x\to 0}(1-\frac{x^2}{2})=\lim_{x\to 0}1=1 $$

$$ \because \cos x<\frac{\sin x}{x}<1 $$

$$ \therefore \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0}\cos x=\lim_{x\to 0}1=1 $$

第二类重要极限

$$ \lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=\mathrm{e} $$

证明

$$ x_n=(1+\frac{1}{n})^n < y_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1} $$

$$ (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\geq(\frac{n(\frac{n+1}{n})+1}{n+1})^{n+1}\geq\frac{n+1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\cdots 1=(1+\frac{1}{n})^n $$

 ⇒ x_n↑

$$ \frac{1}{y_n}=(\frac{n}{n+1})^{n+1}\leq(\frac{(n+1)(\frac{n}{n+1})+1}{n+2})^{n+2}=(\frac{n+1}{n+2})^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}} $$

 ⇒ y_n↓

∴ 2 = x₁ ≤ x_n < y_n ≤ y₁ = 4

∴ x_n单调有界

$$ \therefore\lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=\mathrm{e} $$

$$ \text{对于}x\in \mathbb{R},\,\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x\colon $$

let n ≤ x < n + 1

$$ (1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{x})^x<(1+\frac{1}{n})^{n+1} $$

$$ \lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}=\mathrm{e} $$

$$ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}=\lim_{n\to \infty}[(1+\frac{1}{n})^n\cdot(1+\frac{1}{n})]=\mathrm{e} $$

$$ \therefore \lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=\mathrm{e} $$