空间解析几何
XantC
一次
空间直线方程
向量方程
r = a + tb
(r − a) × b = 0
笛卡尔方程
$$ \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix},\, \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix} l\\m\\n \end{pmatrix} $$
$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}=\lambda $$
空间平面方程
标量方程
r ⋅ n = p
向量方程
r = a + λb + μc
其中a为平面上的点，b和c是向量
笛卡尔方程
ax + by + cz + d = 0
关系
线线
共面
$$ l_1\colon \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} $$
$$ l_2\colon \frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2} $$
M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)
$$ 充要条件\colon \overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\boldsymbol{s_1}\times \boldsymbol{s_2})=0 $$
线面
垂直
s = n
平行
s ⋅ n = 0
面面
垂直
n1 ⋅ n2 = 0
平行
n1 = λn2
夹角
线线夹角
$$ \cos\theta=\bigg|\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}\bigg| $$
线面夹角
$$ \sin\theta=\bigg|\frac{\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{n}|}\bigg| $$
面面夹角
$$ \cos\theta=\bigg|\frac{\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}\bigg| $$
异面直线距离
r1 = a + λb, r2 = c + μd
$$ d=\bigg|\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{d})}{|\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{d}|}\bigg| $$
原点到平面距离
$$ \boldsymbol{r}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}=d $$
$$ 其中\hat{\boldsymbol{n}}为单位法向量，d为原点到平面距离 $$
二次
曲面
椭圆锥面
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 $$
椭球面
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 $$
单叶双曲面
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 $$
双叶双曲面
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 $$
椭圆抛物面
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z $$
双曲抛物面
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z $$
椭圆柱面
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$
双曲柱面
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$
抛物柱面
x2 = ay