游荡在时代之外
XantC
游荡在时代之外的我
不是一个失魂落魄的鬼魂
我是。。。
特征值与特征向量
XantC
为何需要特征值和特征向量？
我们知道，矩阵可以用来表示一个线性变换，它的列向量决定着变换后列空间的基底。而矩阵的特征向量，也就是在变换前后方向不变的向量，决定的则是这个变换本身的基底。
投影问题
XantC
向量到平面投影
对于一向量\(\boldsymbol{a}\)，其到以\(\boldsymbol{n}\)为法向量的平面的投影，为：
\[ Prj=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{n} \]
活动标架
XantC
这里不提曲线论下的活动标架，因为曲线单参数，只用导数的\(Frenet\)标架就可以搞定。我们只关心曲面。
所谓活动标架，是与曲面本身联系不紧的，附着在曲面每一点上的局部标架。例如，我们可以通过使\(\boldsymbol{e_1}\)与\(\boldsymbol{e_2}\)正交，让原本不正交的曲纹坐标变为更易处理的正交标架。我们还可以让它们在切平面上做一个转动，使\(\boldsymbol{e_1}\)成为曲面上一直线的切向量，甚至于主曲率的方向，进而研究曲面上与方向相关的问题。以上说明的两种做法，就是曲面的一阶和二阶标架场。
外微分
XantC
外形式（外积）是什么？
外形式，是定义在向量空间\(V\)上的满足反交换乘法的多重线性函数，即\(f\in \bigwedge^nV^*\)，它输入n个向量，输出一个实数，形如\(\varphi\, \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\wedge\cdots\)
这句话不是严格定义，但非常精辟，我接下来将详细解释。