投影问题

XantC

向量到平面投影

对于一向量a，其到以n为法向量的平面的投影，为：

Prj = a − (a ⋅ n)n

线性投影

这类问题是把“一个向量”投影到“一个矩阵的列空间”上的，可以看作是上一部分的推广。而此时原向量和投影向量的差，是垂直与矩阵的列空间，也就是在它的左零空间里的。如果我们设一个n = r的矩阵为A，投影向量满足p = Ax̄，则有A^T(b − Ax̄) = 0

所以：

A^TAx̄ = A^Tb

由于A^TA可逆，我们就可以直接求解这个矩阵方程，然后得到{x}$。

如果想要再进一步得到对于C(A)的投影矩阵（也就是直接作用于目标向量b的矩阵），我们可以：

x̄ = (A^TA)⁻¹A^Tb

∵p = Pb = A(A^TA)⁻¹A^Tb

∴ P = A(A^TA)⁻¹A^T

曲线到平面投影

在研究曲线到平面投影的时候，我们可能担心不同位置的平面是否会导致投影曲线的不同（特别是平面插在曲线里上下移动的时候），但其实这与位置无关。我目前还不会用说理的办法来解释，于是使用代数。

如果我们使用向量值函数来表示曲线，即r(t) = (x(t), y(t), z(t))（此处不能把曲线的不变量作为参数，比如弧长，它在做投影之后肯定会变），那么原曲线切向量的投影必定和投影曲线的切向量同向（单位切向量相等）。

我们设原曲线为r₀(t) = (x(t), y(t), z(t))，投影曲线为r₁(t)，则有：

$$ \begin{align*} \boldsymbol{r_1}^{'}&=k*Prj(\boldsymbol{r_0}^{'})\\ &=k\,(\boldsymbol{r_0}^{'}-(\boldsymbol{r_0}^{'}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{n})\\ &=k(\boldsymbol{r_0}^{'}-(\boldsymbol{r_0}\cdot \boldsymbol{n})^{'}\boldsymbol{n}) \end{align*} $$

 ⇒ r₁ = k(r₀ − (r₀ ⋅ n + c₀)n) + e₀

$$ \begin{align*} 0&=(\boldsymbol{r_1}-\boldsymbol{r_0})\times\boldsymbol{n}\\ &=((k-1)\boldsymbol{r_0}-k(\boldsymbol{r_0}\cdot\boldsymbol{n}+c_0)\boldsymbol{n}+\boldsymbol{e_0})\times\boldsymbol{n}\\ &=((k-1)\boldsymbol{r_0}+\boldsymbol{e_0})\times\boldsymbol{n}\\ \end{align*} $$

令(k − 1)r₀ + e₀ = μn

$$ \begin{align*} \Rightarrow \boldsymbol{r_1}&=((k-1)\boldsymbol{r_0}+\boldsymbol{e_0})+(\boldsymbol{r_0}-k(\boldsymbol{r_0}\cdot \boldsymbol{n})\boldsymbol{n})\\ &=\boldsymbol{r_0}+(\mu-k(\boldsymbol{r_0}\cdot\boldsymbol{n}+c_0))\boldsymbol{n}\\ &=\boldsymbol{r_0}+(k\boldsymbol{r_0}\cdot\boldsymbol{n}+c_0)\boldsymbol{n}\\ \end{align*}$$

 ⇒ r₁^′ = r₀^′ ⇒ k = 1

∴ r₁ = r₀ + (r₀ ⋅ n + c₀)n

根据最后的式子，我们可以看出投影曲线的确与平面本身的位置无关。而由于常数c₀的存在，我们得到的其实是一组垂直于曲面法向量的曲线；c₀则负责这些曲线之间的平移。