外微分

XantC

外形式（外积）是什么？

外形式，是定义在向量空间V上的满足反交换乘法的多重线性函数，即f ∈ ⋀ⁿV^*，它输入n个向量，输出一个实数，形如φ dx ∧ dy ∧ dz ∧ ⋯

这句话不是严格定义，但非常精辟，我接下来将详细解释。

一次外形式

首先，对于一个基向量为{e_i}的向量空间V，如果有一个定义在向量空间V上的一般线性函数，即输入一个n维向量x，并输出实数的函数f，就可以把它定义成f: V → ℝ。而如果我们又定义了一组可以“求向量在基向量上分量”的函数，叫做eⁱ，满足eⁱ(x) = x_i，那么它自己就是一个线性函数f。更重要的是，这些函数可以被当成一组新的基底{eⁱ}，而任意的线性函数f，都可以表示这些基底的线性组合。我们把{eⁱ}命名为V的对偶空间V^*的基底，也叫对偶基底。

举个例子。微分几何中，我们知道dr = r_udu + r_vdv。这是曲面在某一点的切平面，是一个以{r_u, r_v}为基向量的二维向量空间V，它的对偶空间V^*的基底是{du, dv}。大家可以在纸上画一张图感受一下。需要强调的是，这个切向量式子本身并不是一个外形式，它是上文的“任意向量x”。因为它吐出的是向量，不是实数。本式的外形式只有du和dv两个，也就是它的基底本身。

现在详细解释函数f“输入一个向量，吐出一个实数的含义”。我这里拿内积举个例子；我把外形式du显式地表示出来：du = dr ⋅ r_u。在这里，dr作为自变量向量，与偏导数点乘后得到了实数分量。这正是一个拿进一个向量，吐出实数的实例，也就是作点积！大家想想，在向量空间V中求向量x的分量x_i，通过点积来求也是非常正常且合理的想法。

而且，这也能解释为什么在活动标架中，外形式大多被用在标架向量的组合系数里，比如dr = ω¹e₁ + ω²e₂，我们可以得到ω¹ = dr ⋅ e₁。因而ω₁是拿进向量e₁，吐出实数的线性函数，而这样的线性函数又必定是{du, dv}的线性组合。这决定了外形式的形态，也明确了ω¹就是一个外形式！

现在做一下总结。所谓外形式，形式上就是对偶基底（那些微分们）的线性组合；内涵上就是把向量处理成实数的函数。

用数学语言来描述，就是：

Adu + bdv = f(dr)

而所谓的“把向量处理成实数的函数”也不是什么很玄乎的内容。比如作内积，或是通过叉乘的绝对值来求面积，都是这类函数的实例，它们也都能表示成外微分的形式。（！！！）

这也为“微分”概念赋予了新的理解，微分du, dv从此从多元微积分中的积分的对立面，偏导数的附属品，升级成为了向量的线性函数的基底。

r次外形式

我用多元积分学的内容来导入：

式子ω = Pdx + Qdy，是处理二维空间里的一个向量x，并返回实数的函数。尽管它是定义在二维笛卡尔坐标系里的，却承担着一维的含义（毕竟会被用于计算曲线积分）。那从斯托克斯公式（或者格林）来看，我们知道这个曲线积分可以转换为曲面积分，也就是进行一个升维。那这要怎么用外形式来表示呢？我们要怎么在二维空间里定义一个式子，使得它具有二维的含义？

这就是外形式开头所说“多重”线性函数的意义。正常为了得到这个多重，我们需要定义张量积，再说到反对称化运算，才能说到外积，我这里就简单过一遍。张量积是用来做升维的运算，一个拿2个向量的函数f和一个拿3个向量的g作张量积，得到的f ⊗ g就是依次拿这5个向量的函数，其结果为两个实数函数之积。反对称化是为了得到dx ∧ dy = −dy ∧ dx的性质，同时也能让外积运算尽量和行列式靠拢。（其实后者在本质上更为重要）

外积定义如下：（方括号为反对称化运算）

$$ f\wedge g=\frac{(r+s)!}{r!s!}[f\otimes g] $$

对于一个r次外形式，我们定义它是在空间⋀^rV^*上的，它的基底是{e^j₁ ∧ e^j₂ ∧ ⋯ ∧ e^j_n, 1 ≤ j₁ < ⋯ < j_n ≤ n}。但是我们也可以直接把外形式理解成f: V × ⋯ × V → ℝ的函数。因为前者正是后者的特殊情形，而且这更能保留外形式“向量映射到实数”的特征。

在定义新空间的时候，我们用到了外积符号∧，现在来好好说道说道它。由于它运算上的反对称性，很多人把它跟行列式，跟向量叉乘作类比，其实它的几何意义确实如此。我们拿二次微分式dx ∧ dy来说明，它实际上是ω = dx ∧ dy(x₁, x₂)，再根据外积的定义以及张量积和反对称化的算法（这一块可以省略），可以得到：

$$\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y(\boldsymbol{x_1},\boldsymbol{x_2})=\begin{vmatrix} (\boldsymbol{x_1})_x&(\boldsymbol{x_2})_x\\ (\boldsymbol{x_1})_y&(\boldsymbol{x_2})_y \end{vmatrix}$$

其中(x)_x指的是向量在x轴方向上的分量。容易发现，这个外积正好是x₁, x₂的行列式，也就是它们所长成平行四边形的面积！一个二次外形式，就是拿进两个二维向量，并返回一个带有向量长成面积的实数函数。

从中我们也可以看出一些其他的东西。比如在二维空间里，我们可以定义两种次数的外形式：一个是Pdu + Qdv，一个是Adu ∧ dv。前者可以用来算曲线积分，后者则是曲面积分；不同次外微分的区别也是在处理的对象上，一次处理一维的东西，二次处理二维的东西。而且这个维度也不可能超过空间本身的维度。

这也可以一举拓到r次的情形。一个r次外形式，就是拿进r个n维向量，并返回一个带有向量长成面积的实数函数。其中要保证r < n。

总结一下。所谓外形式做外积，就是在升维度，这不是指向量空间本身的维度，而是所处理对象的维度（在三维里，我们可以处理一次的曲线积分，二次的曲面积分，三次的三重积分）。外形式所对应的维度有多少，它拿进的向量也就有多少。

外微分是什么？

先上定义：

ω = φ_i1⋯indu^i₁ ∧ ⋯ ∧ du^i_n

$$ \begin{align*} \mathrm{d}\omega&=\mathrm{d}\varphi_{i_1\cdots i_n}\wedge\mathrm{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}u^{i_n}\\ &=\frac{\partial \varphi_{i_1\cdots i_n}}{\partial \mathrm{d}u^j}\mathrm{d}u^j\wedge\mathrm{d}u^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}u^{i_n} \end{align*} $$

我认为定义里的第一行比较重要。做外微分，就是把微分之前的系数做一次微分，再和后面的微分做外积，非常符合做微分的直观想象。但如果要再理解一步的话，可以看看斯托克斯公式：

∫_∂Dω = ∫_Ddω

上式是说，在区域的边缘做积分，相当于在区域内部做外微分的积分。这点出了外形式与其外微分的关系：在区域一段边缘上的外形式，与区域内部外形式的外微分，大体可以理解成同一个东西。而且“区域”与“边缘”之间相差一个维度，这与r次外形式中所讲的“外积能够升维”相贴合。毕竟外微分在某种程度上就是外积。

为什么需要外微分？

这是由于原先微分的局限性。外微分之前的微分，并没有解释“微分乘以微分”的含义，顶多是能够作为面积或者体积元素，而且求曲面积分时的定向也不能通过式子本身直接确定，需要人工瞪几眼才行。除此之外，它也没有说明“微分的微分”的含义。你现在要把dr = r_udu + r_vdv再微分一次，那肯定是非常奇怪的事情。

但现在的我们已经全副武装。我们把微分乘以微分，以及微分的微分，都进行了定义。这是以对外形式的全新理解为基础，从而构建起的一套全新的体系。

和活动标架的关系

对于活动标架而言，如果我们想在曲面上也建立一套像Frenet标架一样好用的，只用求导和几何关系就可以解决问题的标架，那么我们必须要用到微分。因为曲线的参数只有一个，而曲面有两个，我们不可能每一个标架向量都有两个偏导式，这样过于麻烦。（从推自然标架的时候就可见一斑）而函数微分可以把它所有自变量的微分全部写在一个式子里。更重要的是，标架还允许其依赖于任意个参数。