解微分方程
XantC
一阶线性微分方程
一般形式
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Py=Q \]
求解
可分离变量的微分方程
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y) \] \[ \int\frac{1}{g(y)}\mathrm{d}y=\int f(x)\mathrm{d}x+\mathrm{C} \]
通解
\[凑\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(uv)=u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\]
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Py=Q \tag{1}\]
\[ f(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+f(x)Py=f(x)Q \]
\[ \because (f(x)y)^{'}=f(x)y^{'}+f^{'}(x)y \]
\[ \therefore f^{'}(x)=f(x)P \]
\[ \therefore f(x)=e^{\int P\mathrm{d}x} \tag{2}\]
\[ (2) \to (1) \colon e^{\int P\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+e^{\int P\mathrm{d}x}Py=e^{\int P\mathrm{d}x}Q \]
\[ (e^{\int P\mathrm{d}x}y)^{'}=e^{\int P\mathrm{d}x}Q \]
\[ \therefore e^{\int P\mathrm{d}x}y=\int e^{\int P\mathrm{d}x}Qdx+\mathrm{C} \]
代换法
令\(u=f(x,y)\)，代入进原方程，得到一个u关于x的方程，求解，然后再把\(y=f(x,u)\)回代即可
应用
- 伯努利方程
\[ 对于\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Py=Qy^n \colon \]
\[ 令z=y^{1-n} \]
\[ 则\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}-P(n-1)z=-Q(n-1) \]
证明：
\[ 先设z=y^k \]
\[ 则 \enspace \frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}z^{\frac{1-k}{k}}+Pz^{\frac{1}{k}}=Qz^{\frac{n}{k}} \]
\[ 为凑得\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+Pz=Q\colon \]
\[ \frac{1-k}{k}=\frac{n}{k} \]
\[ \therefore k=1-n \]
\[ \therefore z=y^{1-n} \]
\[ \therefore \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}-P(n-1)z=-Q(n-1) \]
二阶变系数线性微分方程
一般形式
\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f(x) \]
求解
\[ 对于已知齐次通解求非齐次通解\colon \]
\[ \begin{align*} y&=\mathrm{C_1}y_1+\mathrm{C_2}y_2 \\ &=y_1v_1+y_2v_2 \end{align*} \]
\[ \Rightarrow y^{'}=y_1v_1^{'}+y_2v_2^{'}+y_1^{'}v_1+y_2^{'}v_2 \]
\[ 要得到关于v_1^{'},v_2^{'}的二元一次方程组\Rightarrow y^{'}中不含v_1^{'}和v_2^{'} \]
\[ \therefore y_1v_1^{'}+y_2v_2^{'}=0 \tag{1} \]
\[ y^{'}=y_1^{'}v_1+y_2^{'}v_2 \]
\[ \Rightarrow y^{''}=y_1^{'}v_1^{'}+y_2^{'}v_2^{'}+y_1^{''}v_1+y_2^{''}v_2 \]
\[ \Rightarrow y_1^{'}v_1^{'}+y_2^{'}v_2^{'}+y_1^{''}v_1+y_2^{''}v_2+P(y_1^{'}v_1+y_2^{'}v_2)+Q(y_1v_1+y_2v_2)=f \]
\[ y_1^{'}v_1^{'}+y_2^{'}v_2^{'}+v_1(y_1^{''}+Py_1^{'}+Qy_1)+v_2(y_2^{''}+Py_2^{'}+Qy_2)=f \]
\[ \therefore y_1^{'}v_1^{'}+y_2^{'}v_2^{'}=f\tag{2} \]
\[ \begin{cases} y_1v_1^{'}+y_2v_2^{'}=0\\ y_1^{'}v_1^{'}+y_2^{'}v_2^{'}=f \end{cases} \]
\[ W=\begin{vmatrix} y_1&y_2\\ y_1^{'}&y_2^{'} \end{vmatrix},v_1^{'}=-\frac{y_2f}{W}, v_2^{'}=\frac{y_1f}{W} \]
\[ v_1=\mathrm{C_1}+\int(-\frac{y_2f}{W})\mathrm{d}x, v_2=\mathrm{C_2}+\int\frac{y_1f}{W}\mathrm{d}x \]
\[ \therefore y=\mathrm{C_1}y_1+\mathrm{C_2}y_2-y_1\int\frac{y_2f}{W}\mathrm{d}x+y_2\int\frac{y_1f}{W}\mathrm{d}x \]
二阶常系数线性微分方程
一般形式
\[ a\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+cy=f(x) \]
求解
一般方法
先处理\(f(x)=0\)的情况：
\[ ay^{''}+by^{'}+cy=0 \]
\[ 只有y=\mathrm{A}e^{mx}可能符合这个方程 \]
\[ \therefore \mathrm{A}am^2e^{mx}+\mathrm{A}bme^{mx}+\mathrm{A}ce^{mx}=0 \]
\[ am^2+bm+c=0 \]
Case 1 两不等实根
\[ \mathrm{Case}\ 1\colon\enspace b^2 > 4ac \]
\[ 令\enspace m=p,q \enspace(p\neq q) \]
\[ \therefore y^{''}-(p+q)y^{'}+pqy=0 \]
\[ \int \frac{(y^{'}-py)^{'}}{y^{'}-py} \mathrm{d}x=\int q\mathrm{d}x + \mathrm{C}_1 \]
\[ \ln(y^{'}-py)=qx+\mathrm{C}_1 \]
\[ \therefore y^{'}-py=\mathrm{A}e^{qx} \]
\[ e^{-px}y=\frac{\mathrm{A}}{q-p}e^{qx-px}+\mathrm{C}_2 \]
\[ y=\frac{\mathrm{A}}{q-p}e^{qx}+\mathrm{C}_2e^{px}\]
\[ \therefore y=\mathrm{A}e^{px}+\mathrm{B}e^{qx} \]
Case 2 两相等实根
\[ \mathrm{Case}\ 2\colon\enspace b^2=4ac \]
\[ 令\enspace m=p,q \enspace(p=q) \]
\[ 同\text{Case 1}理\colon y^{'}-py=\mathrm{A}e^{qx} \]
\[ \text{e}^{-px}y^{'}-pe^{-py}y=\mathrm{A} \]
\[ e^{-px}y=\mathrm{A}x+\mathrm{B} \]
\[ \therefore y=(\mathrm{A}x+\mathrm{B})e^{px} \]
Case 3 两复数根
\[ \mathrm{Case}\ 3\colon\enspace b^2<4ac \]
\[ 令\enspace m=u,v \enspace(u=p+q\mathrm{i},\enspace v=p-q\mathrm{i}) \]
\[ 同\text{Case 1}理\colon y=\mathrm{A}\mathrm{e}^{ux}+\mathrm{B}\mathrm{e}^{vx} \]
\[ y=\mathrm{Ae}^{(p+q\mathrm{i})x}+\mathrm{Be}^{(p-q\mathrm{i})x} \]
\[ y=\mathrm{e}^{px}(\mathrm{Ae}^{qx\mathrm{i}}+\mathrm{Be}^{-qx\mathrm{i}}) \]
\[ y=\mathrm{e}^{px}[\mathrm{A}(\cos(qx)+\mathrm{i}\sin(qx))+\mathrm{B}(\cos(qx)-\mathrm{i}\sin(qx))] \]
\[ y=\mathrm{e}^{px}[(\mathrm{A+B})\cos(qx)+\mathrm{i}(\mathrm{A-B})\sin(qx)] \]
\[ y=\mathrm{e}^{px}(\mathrm{A}\cos(qx)+\mathrm{B}\sin(qx)) \]
\[ \therefore y=\begin{cases} \mathrm{A}e^{px}+\mathrm{B}e^{qx}& b^2>4ac\\ (\mathrm{A}x+\mathrm{B})e^{px}& b^2=4ac\\ \mathrm{e}^{px}(\mathrm{A}\cos(qx)+\mathrm{B}\sin(qx))& b^2<4ac \end{cases} \]
再处理\(f(x)\neq0\)的情况：
此时要找到方程\(ay^{''}_1+by^{'}_1+cy_1=f(x)\)的特解，再把\(y_1\)与\(f(x)=0\)时的一般解(记为\(y_2\))相加，那么\(y=y_1+y_2\)就是一般解了
有一个函数对应特解的表格：
| \(f(x)\) | 特解 |
|---|---|
| \(k\) | \(\lambda\) |
| \(kx+m\) | \(\lambda x+\mu\) |
| \(kx^2+mx+n\) | \(\lambda x^2+\mu x+\nu\) |
| \(k\mathrm{e}^{px}\) | \(k\mathrm{e}^{px}\) |
| \(m\cos px+n\sin px\) | \(m\cos px+n\sin px\) |
总之思路是：想着一个函数要怎么凑，能凑成它自己和它的一阶、二阶导函数的线性组合能等于零
如果一般解和特解中有项是重合的，可以试着把特解乘一个\(x\)
特殊方法
- 代换法
如碰到\(ax^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+bx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+cy=0\)的方程，可以令\(x=\mathrm{e}^u\)，然后得到：
\[ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}*\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} \\ &=x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{align*} \]
\[ \therefore x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \]
\[ \begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}) \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}) \\ &=x(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}x) \\ &=x\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \\ &=x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \end{align*} \]
\[ \therefore x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \]
思路是用\(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}\)和\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\)，把\(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}和\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)表示出来，进而：
\[ a(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}u^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u})+b(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u})+cy=0 \]
之后解出\(y\)关于\(u\)的方程，再把\(x=\mathrm{e}^u\)代入即可