泰勒展开
XantC
公式
\(f(x)\)在\(x=x_0\)处展开：
\[f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \tag{1}\]
\[f(x+x_0)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n \tag{2}\]
\(x_0=0\) 时的公式，被称作麦克劳林公式
解释
在\(x=x_0\)处展开的意义：能用尽量少的项来表示某点的函数值，简便计算
收敛域
\[ \text{if}\;x\in D,\;\lim_{x\to \infty} R_n(x)=0 \]
证明
假设\(f(x)\)可以表示成一个多项式函数：
\[ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n+\dots \]
\[ \begin{align*} 则\colon\enspace f^{'}(x)&=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\dots+na_nx^{n-1}+\dots \\ f^{''}(x)&=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+\dots+n(n-1)a_nx^{n-2}+\dots \\ ...... \end{align*} \]
\[ \therefore f(0)=a_0,\ f^{'}(0)=a_1,\ f^{''}(0)=2a_2,\ f^{'''}(0)=6a_3...\]
\[ \therefore a_0=\frac{f(0)}{0!},\ a_1=\frac{f^{'}(0)}{1!},\ a_2=\frac{f^{''}(0)}{2!},\ a_3=\frac{f^{'''}(0)}{3!}... \]
\[ f(x)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f^{'}(0)}{1!}x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{'''}(0)}{3!}x^3... \]
\[ \therefore f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]
以上是函数在\(x=0\)处展开的情况，而在\(x=x_0\)处展开就是：
\[f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]
应用
新的公式
\[ \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots\enspace(x\in\mathbb{R}) \]
\[ \ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\dots\enspace(-1<x\leq1) \]
\[ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots\enspace(x\in\mathbb{R}) \]
\[ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\dots\enspace(x\in\mathbb{R}) \]
\[ (1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1)}{n!}x^n+\dots(-1<x<1) \]
能够用来简便计算
\[\begin{align*} \mathrm{e.g.} \enspace \mathrm{e}&=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots+\frac{1}{n!}+\dots \\ \mathrm{sin\frac{\pi}{3}}&=\frac{\pi}{3}-\frac{(\frac{\pi}{3})^3}{3!}+\frac{(\frac{\pi}{3})^5}{5!}+\dots+\frac{(-1)^n(\frac{\pi}{3})^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots \end{align*}\]
互相组合，形成新公式
\[ \begin{align*} \mathrm{e.g.} \enspace \mathrm{e}^{\sin x}&\approx \mathrm{e}^{(x-\frac{x^3}{3!})}\\ &\approx \mathrm{e}^x*\mathrm{e}^{-\frac{x^3}{3!}} \\ &\approx (1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24})*[1+(-\frac{x^3}{6})] \\ &\approx 1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8} \end{align*} \]
解微分方程
考虑泰勒展开的另一种表示方法：
\[y=y_0+\frac{y^{'}(x_0)}{1!}x+\frac{y^{''}(x_0)}{2!}x^2+...\]
可以发现，如果知道了初值\(x_0\)和对应的\(y_0\)，以及包含着\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)的微分方程，就可以把接下来\(x_0\)的二阶导数、三阶导数等等都表示出来，进而得到\(y\)的级数解
Newton-Raphson 方法
这个方法可用于求方程的近似数值解
取泰勒展开前两项：
\[ f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0) \]
\[ 当f(x)=0时\colon\enspace f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)=0 \]
\[ \therefore x=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{'}(x_0)} \]
\[ 即x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)} \]