双曲函数
XantC
定义
几何定义
双曲线\(x^2-y^2=1\)右支上的点，到y轴距离为\(\cosh \theta\)，到x轴距离为\(\sinh\theta\)，两者正负号不做限定
代数定义
\[ \sinh x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2} \]
\[ \cosh x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2} \]
\[ \tanh x=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1} \]
\[ \coth x=\frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}-1} \]
\[ \mathrm{sech}\:x=\frac{2}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} \]
\[ \mathrm{csch}\:x=\frac{2}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}} \]
两者关系
由积分与\(x^2-y^2=1\)的\(a=1\)，可以得到双曲角\(\theta\)为它与双曲线所夹面积的2倍，再通过一系列计算,就可以得到\(\sinh\theta\)与\(\sinh\theta\)的指数形式
计算过程
\[ \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\cosh\alpha\sinh\alpha-\int^{\cosh\alpha}_{1}\sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x \]
\[ 令x=\sec\theta, 则\,\mathrm{d}x=\sec\theta\tan\theta\,\mathrm{d}\theta \]
\[ \begin{align*} \Rightarrow\int\sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x&=\int\sec\theta\tan^2\theta\mathrm{d}\theta\\ &=\sec\theta\tan\theta-\int\sec^3\theta\mathrm{d}\theta \\ &=\frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta-\frac{1}{2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|\\ &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \end{align*} \]
\[ \Rightarrow \int^{\cosh\alpha}_{1}\sqrt{x^2-1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cosh\alpha\sinh\alpha-\frac{1}{2}\ln(\cosh\alpha+\sinh\alpha) \]
\[ \Rightarrow \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\ln(\cosh\alpha+\sinh\alpha) \]
\[ \Rightarrow \begin{cases} \cosh\alpha+\sinh\alpha=\mathrm{e}^{\alpha}\\ \cosh^2\alpha=\sinh^2\alpha+1 \\ \end{cases} \]
\[ \therefore \begin{cases} \displaystyle\cosh\alpha=\frac{\mathrm{e}^{\alpha}+\mathrm{e}^{-\alpha}}{2}\\ \displaystyle\sinh\alpha=\frac{\mathrm{e}^{\alpha}-\mathrm{e}^{-\alpha}}{2} \end{cases} \]
基本定理
\[ \cosh x=\cos\mathrm{i}x \]
\[ \mathrm{i}\sinh x=\sin\mathrm{i}x \]
\[ \cosh^2x-\sinh^2x=1 \]
三角公式转换为双曲公式
Osborn's Rule
\[ 只有\sin^2 x转到\sinh^2 x时要变号 \]
证明
\[ 待定 \]
反双曲
\[ \mathrm{arsinh}\:x=\ln\,(x+\sqrt{x^2+1}) \]
\[ \mathrm{arcosh}\:x=\ln\,(x+\sqrt{x^2-1})\enspace(x\geq1) \]
\[ \mathrm{artanh}\:x=\frac{1}{2}\ln\,(\frac{1+x}{1-x})\enspace(\lvert x\rvert<1) \]
求导
\[ (\sinh x)^{'}=\cosh x \]
\[ (\cosh x)^{'} =\sinh x\]
\[ (\tanh x)^{'}=\mathrm{sech}^2x \]
\[ (\coth x)^{'}=-\mathrm{csch}^2x \]
\[ (\mathrm{sech}\:x)^{'}=-\mathrm{sech}\:x\tanh x \]
\[ (\mathrm{csch}\:x)^{'}=-\mathrm{csch}\:x\coth x \]
积分
\[ \int \mathrm{sech}\:x=2\arctan\:(e^x)+\mathrm{C} \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{arsinh}\:x+\mathrm{C} \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\mathrm{arcosh}\:x+\mathrm{C} \]
\[ \int \frac{1}{1-x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{artanh}\:x+\mathrm{C} \]