解析力学案例

XantC

与速度垂直的力只改变其速度方向

令v₀ = (v_0x, v_0y), v = (φ, ψ)

则F = k(−ψ, φ), 其中k为随t变化的常数

$$ \boldsymbol{v^{'}}=\boldsymbol{a}=\frac{k}{m}(-\psi,\varphi)=(\varphi^{'}, \psi^{'}) $$

$$ \Rightarrow \begin{cases} \displaystyle\varphi^{'}=-\frac{k}{m}\psi\\ \displaystyle\psi^{'}=\frac{k}{m}\varphi\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} \displaystyle\varphi=-A\sin\frac{k}{m}t+B\cos\frac{k}{m}t\\ \displaystyle\psi=A\cos\frac{k}{m}t+B\sin\frac{k}{m}t \end{cases} $$

∵v |_t = 0 = (v_0x, v_0y)

∴ A = v_0y, B = v_0x

$$ \therefore |\boldsymbol{v}|=\sqrt{\varphi^2+\psi^2}=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{\boldsymbol{v}_{0x}^2+\boldsymbol{v}_{0y}^2}=|\boldsymbol{v}_0| $$

计算向心加速度大小

s = (rcos ωt, rsin ωt)

 ⇒ a = (−rω²cos ωt, −rω²sin ωt)

 ⇒ |a| = rω²