傅里叶级数

XantC

三角级数

$$ f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omega t+\varphi_n) $$

傅里叶级数

形式

$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n \sin nx $$

推导

$$ \begin{align*} f(x)&=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n(\sin\varphi_n\cos n\omega t+\cos\varphi_n\sin n\omega t) \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t\\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n\sin nx \end{align*} $$

傅里叶系数

$$ \begin{cases} a_n=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi} f(x)\cos nx\mathrm{d}x\\ b_n=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x \end{cases} $$

推导

$$ \int^\pi_{-\pi}f(x)\mathrm{d}x=\int^\pi_{-\pi}\frac{a_0}{2}\mathrm{d}x+\sum_{n=1}^{\infty}\int^\pi_{-\pi}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\mathrm{d}x=\pi a_0 $$

$$ \Rightarrow a_0=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\mathrm{d}x $$

$$ \begin{align*} \int^\pi_{-\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x&=\int^\pi_{-\pi}a_n\cos^2{nx}\mathrm{d}x\\ &=a_n\int^\pi_{-\pi}\frac{1+\cos 2nx}{2}\mathrm{d}x\\ &=a_n \pi \end{align*} $$

$$ \Rightarrow a_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x $$

$$ b_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x $$

奇偶性

奇函数展开为正弦函数，偶函数展开为余弦函数

对只占半个周期的函数，可以进行周期延拓，展开为正弦或余弦函数

$$ a_n=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0f(x)\cos nx\mathrm{d}x $$

$$ b_n=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0f(x)\sin nx\mathrm{d}x $$

一般周期的傅里叶级数

$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n \sin \frac{n\pi x}{l} $$

$$ \begin{cases} a_n=\displaystyle\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\\ b_n=\displaystyle\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\\ \end{cases} $$

复数形式的傅里叶级数

形式

$$ f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^\frac{n\pi xi}{l} $$

$$ c_n=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}\mathrm{d}x $$

推导

$$ \begin{align*} f(x)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2}(e^\frac{n\pi xi}{l}+e^{-\frac{n\pi xi}{l}})+\frac{b_n}{2i}(e^\frac{n\pi xi}{l}-e^{-\frac{n\pi xi}{l}})\\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n-ib_n}{2}e^\frac{n\pi xi}{l}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-\frac{n\pi xi}{l}}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^\frac{n\pi xi}{l} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \Rightarrow c_n&=\frac{a_n-ib_n}{2}\\ &=\frac{1}{2}(\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x-\frac{i}{l}\int^l_{-l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x)\\ &=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(x)(\cos\frac{n\pi x}{l}-i\sin\frac{n\pi x}{l})\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}}\mathrm{d}x \end{align*} $$