空间解析几何
XantC
一次
空间直线方程
向量方程
\[ \boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b} \]
\[ (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0} \]
笛卡尔方程
\[ \boldsymbol{a}=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix},\, \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix} l\\m\\n \end{pmatrix} \]
\[ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}=\lambda \]
空间平面方程
标量方程
\[ \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}=p \]
向量方程
\[ \boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}+\mu\boldsymbol{c} \]
\[ 其中\boldsymbol{a}为平面上的点，\boldsymbol{b}和\boldsymbol{c}是向量 \]
笛卡尔方程
\[ ax+by+cz+d=0 \]
关系
线线
共面
\[ l_1\colon \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} \]
\[ l_2\colon \frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2} \]
\[ M_1(x_1, y_1, z_1), M_2(x_2, y_2, z_2) \]
\[ 充要条件\colon \overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\boldsymbol{s_1}\times \boldsymbol{s_2})=0 \]
线面
垂直
\[ \boldsymbol{s}=\boldsymbol{n} \]
平行
\[ \boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=0 \]
面面
垂直
\[ \boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}=0 \]
平行
\[ \boldsymbol{n_1}=\lambda\boldsymbol{n_2} \]
夹角
线线夹角
\[ \cos\theta=\bigg|\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}\bigg| \]
线面夹角
\[ \sin\theta=\bigg|\frac{\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{n}|}\bigg| \]
面面夹角
\[ \cos\theta=\bigg|\frac{\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}\bigg| \]
异面直线距离
\[ \boldsymbol{r_1}=\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b},\enspace\boldsymbol{r_2}=\boldsymbol{c}+\mu\boldsymbol{d}\]
\[ d=\bigg|\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{d})}{|\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{d}|}\bigg| \]
原点到平面距离
\[ \boldsymbol{r}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}=d \]
\[ 其中\hat{\boldsymbol{n}}为单位法向量，d为原点到平面距离 \]
二次
曲面
椭圆锥面
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 \]
椭球面
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \]
单叶双曲面
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \]
双叶双曲面
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \]
椭圆抛物面
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z \]
双曲抛物面
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z \]
椭圆柱面
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
双曲柱面
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
抛物柱面
\[ x^2=ay \]