复数与三角

XantC

复数的三角表示

z = r(cos θ + isin θ)

复数三角形式的乘除、乘方、开方运算

公式

对于乘除：模相乘，角相加

z₁ * z₂ = r₁ * r₂(cos (θ₁ + θ₂) + isin (θ₁ + θ₂))

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(θ_{1} - θ_{2}) + \mathrm{i}\sin(θ_{1} - θ_{2})) $$

zⁿ = rⁿ(cos (nθ) + isin (nθ))

$$ z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}(\cos((θ+2kπ)/n) + \mathrm{i}\sin((θ+2kπ)/n)) $$

模为一时的乘方公式又名棣莫弗公式

由于开方时，最小正周期2kπ乘的是一个小于1的数，那么它就不再是周期，加上θ后的余弦值也会不同，因此需要在公式中写出。

但乘方就没有这种问题。

证明

乘除：把两个复数列出来，死算

乘方开方：数学归纳法

应用

1. 解方程：形如zⁿ = z₀的方程都可通过开方来解
2. 见cos (nθ)、sin (nθ)
3. 见cosⁿθ、sinⁿθ

解复数方程的延伸

一个定理：zⁿ = 1的各根之和为0

欧拉公式

连接实数和虚数的公式

$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}θ} = \cosθ + \mathrm{i}\sinθ $$

证明

1. 泰勒展开，把e^x展开成cos x和sin x

2. 对e^iθ求导，求出ie^iθ，再作图，发现图像为圆，代上圆的参数方程

应用

1. 复数的新表示方法，非常简便

z = re^iθ

e^iπ + 1 = 0

3. 证明负负得正，这件事听起来很扯，但五年级学负数的时候不可能来证明这个

(−1) * (−1) = e^iπ * e^iπ = e^{i(π + π)} = e^2πi = 1

cos (nθ)、sin (nθ)展开

这里只讲怎么从复数的角度来展开（公式还不会）

$$ (\cosθ + \mathrm{i}\sinθ)^n = \cos(nθ) + \mathrm{i}\sin(nθ) \tag{1} $$ $$ (\cosθ + \mathrm{i}\sinθ)^n = \cos^nθ + C_{n}^1\cos^{n-1}θ\mathrm{i}\sinθ + ... +\mathrm{i}^n\sin^nθ \tag{2} $$

将二式的实部和虚部分离，和一式对应起来，再用sin²θ + cos²θ = 1化简即可

cosⁿθ、sinⁿθ展开

n为偶数时:

$$ \cos^nθ = \frac{2[C_{n}^0\cos(nθ)+C_{n}^1\cos(n-2)θ+...+C_{n}^{\frac{n}{2}-1}\cos2θ]+C_{n}^\frac{n}{2}}{2^n} $$

$$ \sin^nθ = \frac{2[C_{n}^0\cos(nθ)-C_{n}^1\cos(n-2)θ+...+(-1)^{\frac{n}{2}-1}C_{n}^{\frac{n}{2}-1}\cos2θ]+(-1)^{\frac{n}{2}}C_{n}^\frac{n}{2}}{2^n(-1)^{\frac{n}{2}}} $$

n为奇数时:

$$ \cos^nθ = \frac{C_{n}^0\cos(nθ)+C_{n}^1\cos(n-2)θ+...+C_{n}^{\frac{n-1}{2}}\cosθ}{2^{n-1}} $$

$$ \sin^nθ = \frac{C_{n}^0\sin(nθ)-C_{n}^1\sin(n-2)θ+...+(-1)^{\frac{n-1}{2}}C_{n}^{\frac{n-1}{2}}\sinθ}{2^{n-1}(-1)^{\frac{n-1}{2}}} $$

证明

1. 从头推导

基础公式：

z = e^iθ:

$$ z + \frac{1}{z} = 2\cosθ $$

$$ z - \frac{1}{z} = 2\mathrm{i}\sinθ $$

$$ z^n + \frac{1}{z^n} = 2\cos(nθ) $$

$$ z^n - \frac{1}{z^n} = 2\mathrm{i}\sin(nθ) $$

然后：(n为偶数)

$$ (z + \frac{1}{z})^n = (2\cosθ)^n = 2^n\cos^nθ \tag{1}$$

$$ (z + \frac{1}{z})^n = C_{n}^0z^n + + ... + C_{n}^{\frac{n}{2}-1}z^2+C_{n}^{\frac{n}{2}}+C_{n}^{\frac{n}{2}+1}\frac{1}{z^2}+...+ C_{n}^{n}\frac{1}{z^n}$$

$$ (z + \frac{1}{z})^n = C_{n}^0*2\cos(nθ)+C_{n}^1*2\cos(n-2)θ+...+C_{n}^{\frac{n}{2}-1}*2\cos2θ + C_{n}^{\frac{n}{2}} \tag{2}$$

联立一式二式并化简：

$$ \cos^nθ = \frac{2[C_{n}^0\cos(nθ)+C_{n}^1\cos(n-2)θ+...+C_{n}^{\frac{n}{2}-1}\cos2θ]+C_{n}^\frac{n}{2}}{2^n} $$

其他公式也同理

2. 万能的数学归纳法

应用

求积分

可以把任意的cosⁿθ或sinⁿθ展开成关于θ的一次三角多项式，这样求积分就很方便了

如求∫(sin⁴x)dx，则

$$ \int(\sin^4x)\mathrm{d}x = \int(\frac{1}{8}\cos4x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{3}{8})\mathrm{d}x $$

$$ \int(\sin^4x)\mathrm{d}x = \frac{1}{32}\sin4x-\frac{1}{4}\sin2x+\frac{3}{8}x+\mathrm{C} $$