复数与三角
XantC
复数的三角表示
\[ z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta) \]
复数三角形式的乘除、乘方、开方运算
公式
对于乘除：模相乘，角相加
\[ z_{1} * z_{2} = r_{1} * r_{2}(\cos(θ_{1} + θ_{2}) + \mathrm{i}\sin(θ_{1} + θ_{2})) \]
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(θ_{1} - θ_{2}) + \mathrm{i}\sin(θ_{1} - θ_{2})) \]
\[ z^n = r^n(\cos(n\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta)) \]
\[ z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}(\cos((θ+2kπ)/n) + \mathrm{i}\sin((θ+2kπ)/n)) \]
模为一时的乘方公式又名棣莫弗公式
由于开方时，最小正周期2kπ乘的是一个小于1的数，那么它就不再是周期，加上θ后的余弦值也会不同，因此需要在公式中写出。
但乘方就没有这种问题。
证明
乘除：把两个复数列出来，死算
乘方开方：数学归纳法
应用
- 解方程：形如\(z^n = z_0\)的方程都可通过开方来解
- 见\(\cos(nθ)、\sin(nθ)\)
- 见\(\cos^nθ、\sin^nθ\)
解复数方程的延伸
一个定理：\(z^n = 1\)的各根之和为0
欧拉公式
连接实数和虚数的公式
\[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}θ} = \cosθ + \mathrm{i}\sinθ \]
证明
泰勒展开，把\(\mathrm{e}^x\)展开成\(\cos x\)和\(\sin x\)
对\(e^{iθ}\)求导，求出\(ie^{iθ}\)，再作图，发现图像为圆，代上圆的参数方程
应用
- 复数的新表示方法，非常简便
\[ z = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}θ} \]
\[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}π} + 1 = 0 \]
- 证明负负得正，这件事听起来很扯，但五年级学负数的时候不可能来证明这个
\[ (-1) * (-1) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}π} * \mathrm{e}^{\mathrm{i}π} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(π + π)} = e^{2π\mathrm{i}} = 1 \]
\(\cos(nθ)、\sin(nθ)\)展开
这里只讲怎么从复数的角度来展开（公式还不会）
\[ (\cosθ + \mathrm{i}\sinθ)^n = \cos(nθ) + \mathrm{i}\sin(nθ) \tag{1} \] \[ (\cosθ + \mathrm{i}\sinθ)^n = \cos^nθ + C_{n}^1\cos^{n-1}θ\mathrm{i}\sinθ + ... +\mathrm{i}^n\sin^nθ \tag{2} \]
将二式的实部和虚部分离，和一式对应起来，再用\(\sin^2θ+\cos^2θ = 1\)化简即可
\(\cos^nθ、\sin^nθ\)展开
n为偶数时:
\[ \cos^nθ = \frac{2[C_{n}^0\cos(nθ)+C_{n}^1\cos(n-2)θ+...+C_{n}^{\frac{n}{2}-1}\cos2θ]+C_{n}^\frac{n}{2}}{2^n} \]
\[ \sin^nθ = \frac{2[C_{n}^0\cos(nθ)-C_{n}^1\cos(n-2)θ+...+(-1)^{\frac{n}{2}-1}C_{n}^{\frac{n}{2}-1}\cos2θ]+(-1)^{\frac{n}{2}}C_{n}^\frac{n}{2}}{2^n(-1)^{\frac{n}{2}}} \]
n为奇数时:
\[ \cos^nθ = \frac{C_{n}^0\cos(nθ)+C_{n}^1\cos(n-2)θ+...+C_{n}^{\frac{n-1}{2}}\cosθ}{2^{n-1}} \]
\[ \sin^nθ = \frac{C_{n}^0\sin(nθ)-C_{n}^1\sin(n-2)θ+...+(-1)^{\frac{n-1}{2}}C_{n}^{\frac{n-1}{2}}\sinθ}{2^{n-1}(-1)^{\frac{n-1}{2}}} \]
证明
- 从头推导
基础公式：
\[ z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}θ}: \]
\[ z + \frac{1}{z} = 2\cosθ \]
\[ z - \frac{1}{z} = 2\mathrm{i}\sinθ \]
\[ z^n + \frac{1}{z^n} = 2\cos(nθ) \]
\[ z^n - \frac{1}{z^n} = 2\mathrm{i}\sin(nθ) \]
然后：(n为偶数)
\[ (z + \frac{1}{z})^n = (2\cosθ)^n = 2^n\cos^nθ \tag{1}\]
\[ (z + \frac{1}{z})^n = C_{n}^0z^n + + ... + C_{n}^{\frac{n}{2}-1}z^2+C_{n}^{\frac{n}{2}}+C_{n}^{\frac{n}{2}+1}\frac{1}{z^2}+...+ C_{n}^{n}\frac{1}{z^n}\]
\[ (z + \frac{1}{z})^n = C_{n}^0*2\cos(nθ)+C_{n}^1*2\cos(n-2)θ+...+C_{n}^{\frac{n}{2}-1}*2\cos2θ + C_{n}^{\frac{n}{2}} \tag{2}\]
联立一式二式并化简：
\[ \cos^nθ = \frac{2[C_{n}^0\cos(nθ)+C_{n}^1\cos(n-2)θ+...+C_{n}^{\frac{n}{2}-1}\cos2θ]+C_{n}^\frac{n}{2}}{2^n} \]
其他公式也同理
- 万能的数学归纳法
应用
求积分
可以把任意的\(\cos^nθ\)或\(\sin^nθ\)展开成关于θ的一次三角多项式，这样求积分就很方便了
如求\(\int(\sin^4x)dx\)，则
\[ \int(\sin^4x)\mathrm{d}x = \int(\frac{1}{8}\cos4x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{3}{8})\mathrm{d}x \]
\[ \int(\sin^4x)\mathrm{d}x = \frac{1}{32}\sin4x-\frac{1}{4}\sin2x+\frac{3}{8}x+\mathrm{C} \]