圆锥曲线求导

XantC

核心思路

\[ 参数方程 \]

椭圆

笛卡尔方程

\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]

参数方程

\[ \begin{cases} x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta \end{cases} \]

切线法线方程

\[ 切线：ay\sin\theta+bx\cos\theta=ab \]

\[ 法线：by\cos\theta=ax\sin\theta+(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta \]

双曲线

标准双曲线

笛卡尔方程

\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]

参数方程

\[ \begin{aligned} & \begin{cases} x=a\cosh\theta \\ y=b\sinh\theta \end{cases} \quad \text{或} \quad \begin{cases} x=a\sec\theta \\ y=b\tan\theta \end{cases} \end{aligned} \]

切线法线方程

\[\begin{align*} \text{在双曲参数下，} 切线：&ay\sinh\theta+ab=bx\cosh\theta \\ 法线：&by\cosh\theta+ax\sinh\theta=(a^2+b^2)\sinh\theta\cosh\theta \\ \text{在三角参数下，} 切线：&ay\tan\theta+ab=bx\sec\theta \\ 法线：&by\sec\theta+ax\tan\theta=(a^2+b^2)\sec\theta\tan\theta \end{align*}\]

矩形双曲线

笛卡尔方程

\[ xy=c^2 \]

参数方程

\[ \begin{cases} x=ct \\ y=\frac{c}{t} \end{cases} \]

切线法线方程

\[ 切线：x+t^2y=2ct \]

\[ 法线：t^3x-ty=c(t^4-1) \]

抛物线

笛卡尔方程

\[ y^2=4ax \]

参数方程

\[ \begin{cases} x=at^2 \\ y=2at \end{cases} \]

切线法线方程

\[ 切线：ty=x+at^2 \]

\[ 法线：y+tx=2at+at^3 \]