周期函数

XantC

定义

\[ f(x+T)=f(x)\enspace(T\neq0) \]

有周期性的抽象函数

\[ f(x+a)=f(x)\Rightarrow T=a \tag{1} \]

\[ f(x+a)=-f(x)\Rightarrow T=a \tag{2} \]

\[ f(x+a)=\pm\frac{1}{f(x)}\Rightarrow T=2a \tag{3} \]

\[ f(x+a)=f(x-a)\Rightarrow T=2a \tag{4} \]

\[ f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a \tag{5}\]

\[ f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a \tag{6} \]

\[ f(x)=f(x-m)+f(x+m)\Rightarrow T=6m \tag{7} \]

定理

关于两条直线对称

\[ y=f(x)关于A(a,y_0)，B(b,y_0)对称，则T=2(b-a) \]

证明

\[ \begin{cases} f(a+x)+f(a-x)=2y_0\\ f(b+x)+f(b-x)=2y_0\\ \end{cases} \]

\[ \begin{align*} \Rightarrow f[x+2(b-a)]&=f[b+(x+b-2a)] \\ &=2y_0-f[b-(x+b-2a)] \\ &=2y_0-f(2a-x) \\ &=2y_0-\left\{2y_0-f[a-(a-x)]\right\}\\ &=f(x) \end{align*} \]

\[ \therefore f[x+2(b-a)]=f(x) \]

关于一点一线对称

\[ y=f(x)关于(m,n)，x=a对称(a\neq0,\,m\neq a)，则T=4(m-a) \]

证明

\[ \begin{cases} 2n-f(x)=f(2m-x)\\ f(2a-x)=f(x) \end{cases} \]

\[ \Rightarrow\begin{cases} 2n-f(2a-x)=f(2m-x) \\ 2n-f(2a-x)=f(2m-2a+x)\\ \end{cases} \]

\[ \Rightarrow 2n-f(x)=f(2m-2a+x) \]

\[ \Rightarrow 2n-f(2m-2a+x)=f(4m-4a+x) \]

\[ \Rightarrow 2n-(2n-f(x))=f(4m-4a+x) \]

\[ \therefore f[4(m-a)+x]=f(x) \]