XantC的博客

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技巧集，随时添加内容。

1. 次数型换元

高中不等式问题，一般只关乎幂函数及其复合函数：如果是整数次（多项式）还好，碰到分式和根式就很头疼，有时条件和所求函数之间似乎还毫无关联。

这种险恶的次数问题，可以通过换元来解决，就是把分式和根式换成新的字母，再用它们来表示所求函数。

\[ 例题1\quad \frac{1}{x+3y}+\frac{1}{2x+y}=1,\; f(x,y)=x+y的最小值？ \]

\[ 令a=\frac{1}{x+3y},\;b=\frac{1}{2x+y}\]

\[则a+b=1,\;x=-\frac{1}{5}(\frac{1}{a}-\frac{3}{b}),\;y=\frac{1}{5}(\frac{2}{a}-\frac{1}{b}) \]

\[ f(x,y)=x+y=\frac{1}{5}(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}) \]

\[ 易得f(x,y)最小值为\frac{3+2\sqrt{2}}{5} \]

2. 柯西

毫无头绪的时候，不妨试试柯西。它能揭示式子与式子之间难以察觉的关系。在几何上就是“模积大于等于点积”

柯西常用两条：

\[ \begin{cases} (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\geq (\sum a_ib_i)^2\\ (\sum a_ib_i)\leq \sqrt{(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)} \end{cases} \]

\[ 例题2\quad \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{5x+y},\;求k最小值 \]

\[ (5x+y)(\frac{1}{5}+1)\geq(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \]

\[ \sqrt{5x+y}\geq\frac{\sqrt{30}}{5}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \]

\[ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{5x+y}}\leq \frac{\sqrt{30}}{5} \]

\[ \therefore k最小值\frac{\sqrt{30}}{5} \]

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把电介质引入静电场后，给我们带来的一大震撼，就是新版本的高斯定理--竟然有矢量场的通量只与自由电荷有关！它凭什么能忽视偶极子的极化电荷？这篇文章就是来解释这个这个诡异的\(D\)矢量，同时给出一些对电介质的理解。

电荷的分裂

由于电介质的分子内在力，中性分子内的电荷不能自由移动，因而会被抽象为偶极子，一个两端是等值异号电荷的小线段，相当于把分子里全部的正、负电荷分别移到偶极矩的两端，就像质心一样。（这种抽象法与我们“静电学”的课题有很大关系。首先，由于没有自由电子，正负电荷在这里是同等地被束缚住的，有同等地位。第二，静电力的方向与电性直接相关，两种电荷不应被一团乱麻地摆在一起，而是互相保持一定距离。这就造出了偶极子模型。）

这种结构虽是中性，但会在电场激发下产生极化电荷。这就是电介质与导体的根本不同：产生宏观电荷的方式。对于自由电子，它们可以在导体中肆意奔跑，最终达到静电平衡时的电子分布就产生了自由电荷。而电介质的做法是产生电矩（位移极化）或使电矩取向产生秩序性（取向极化），结果是某些偶极子的一端落在所求电荷区域之外，造成区域内电荷代数和不再为0，即产生宏观电荷。（本文记\(q_0\)为自由电荷，\(q^{'}\)为极化电荷）

\[ q^{'}=-{\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S} \boldsymbol{P}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\epsilon_0{\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S} \chi \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \]

这个式子把极化电荷的产生具体写了出来，这与自由电子重排产生电荷是不同的。我们因而可以说，这是电荷向自由电荷与极化电荷的分裂。

新版本高斯定理

\[ {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{q_0+q^{'}}{\epsilon_0} \]

\[ {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S}\epsilon_0\boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}=q_0-{\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S}\boldsymbol{P}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \]

\[ {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S}(\epsilon_0 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=q_0 \]

\[ 令\;\boldsymbol{D}=\epsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}=\epsilon \boldsymbol{E} \]

\[ {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=q_0 \]

这段推导能够成功，靠的是极化强度对总电场强度的依赖，使得

对于带电介质的静电场，它的电荷分布仅由自由电荷与极化率（\(\chi\)）决定，再进一步确定总电场强度。

D到底是什么？

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在处理分母上的无穷小量的时候，可以不用一般的分式通分，而使用泰勒展开。它们的区别在于：前者会把式子完全通分，再舍弃不需要的无穷小量，或者说是“从大到小舍弃”；而泰勒是“从零开始展开”，盯准我们要的最大次数，从头开始展，直接拿到我们想要的所有项。

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场强基本理路：

\[ \; \displaystyle\mathrm{d}\boldsymbol{E}=\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\epsilon_0r^2} \boldsymbol{e_r}\]

\[ 2.\; \displaystyle {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S} \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{q}{\epsilon_0} \]

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在这生锈的夜晚

我们蜜糖般的心脏

闭上双眼

准备好

跳入一千面银镜光亮的埋伏

让他

看见你---

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