XantC的博客

针对场点、源点的算符转换

\[ \nabla=-\nabla^{'} \]

这是在说，求一个向量场对于\(\boldsymbol{r}\)（场点）的微分，和求它对于\(\boldsymbol{r}^{'}\)（源点）的微分是相反的。见图：

为了得到相同的\(\iota^{'}\)，\(\boldsymbol{r}\)和\(\boldsymbol{r}^{'}\)需以相反方向改变自己的长度，因而出现了一个负号。

分部积分法

高斯公式和斯托克斯公式下的分部积分法。

\[ \int_V \nabla f\cdot\boldsymbol{A}\mathrm{d}V=\oint_S f\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}-\int_V f\nabla\cdot\boldsymbol{A}\mathrm{d}V \]

\[ \int_S \nabla f\times\boldsymbol{A}\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\oint_L f\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}l-\int_S f(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \]

场的存在性分析

\(\phi\)，\(\boldsymbol{W}\)的形式相似，只是一个点乘一个叉乘的区别，所以分析其中一个就行（这里选\(\phi\)）。

\[\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi}(\int_V \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}-\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\]

为了让\(\phi\)在无界域\(V\)中存在，在\(r^{'}\to\infty\)处，三重积分项应收敛，曲面积分项应趋于0。

对于三重积分：

\[ \text{let} \;{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}\sim \frac{1}{r^\delta} \]

\[ \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V \sim \frac{r^3}{r*r^\delta}\sim r^{2-\delta} \]

\[ \lim_{r^{'}\to\infty} \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V=\lim_{r^{'}\to \infty} r^{2-\delta}=0 \Rightarrow \delta>2 \]

所以\({\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}\)，即矢量场的散度，应比\(1/r^2\)收敛更快。

曲面积分也同理：\(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}^{'})\)应比\(1/r\)收敛更快。

因此：矢量场的散度、旋度收敛快于\(1/r^2\)，矢量场本身快于\(1/r\)

我们有两条线段：\(|AB|\)和\(|AC|\)，其中\(A\)在某个曲线上运动，\(B,C\)为定点。如果有人想知道两条线段长和的最小值，那显然就是\(B\)与\(C\)的连线长，因为

\[ |AB|+|AC|\geq |BC| \]

那如果要求最大值呢？因为上式只指出和的下限，所以要另寻办法。

我们知道，除了两边之和大于第三边以外，还有两边之差小于第三边的结论，这可以作为一个突破口，只需把其中一条线段换成差就行了。

假如

\[ |AB_2|=2a-|AB_1| \]

\[ |AB_1|+|AC|=2a+|AC|-|AB_1|\leq 2a+|BC_1| \]

线段差的最值同理。

亥姆霍兹定理保证了矢量场在特定条件下（矢量场在无穷远处比\(1/r\)更快趋于0，它的散度和旋度在无穷远处比\(1/r^2\)更快趋于0），可被分解为一个无旋场（梯度场）和一个无散场（旋度场）。

\[ \boldsymbol{F}=-\nabla \phi+\nabla\times \boldsymbol{W} \]