亥姆霍兹定理

发表于 2025-03-08 更新于 2026-08-20 分类于物理，矢量分析

亥姆霍兹定理保证了矢量场在特定条件下（矢量场在无穷远处比1/r更快趋于0，它的散度和旋度在无穷远处比1/r²更快趋于0），可被分解为一个无旋场（梯度场）和一个无散场（旋度场）。

F = −∇ϕ + ∇ × W

若

∇ ⋅ F = D

∇ × F = C

则

$$ \phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{D(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'} $$

$$ \boldsymbol{W}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{C}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'} $$

本篇记录下我艰辛的推导过程，解释得比较详细（看推导的时候可以随时跳转）。

推导过程

$$ \begin{align*} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})&=\int_V \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})\,\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}})\mathrm{d}V^{'}\\ &=\int_V\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}^{'})\,(-\frac{1}{4\pi}\nabla^2(\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}))\mathrm{d}V^{'} \tag{1} \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla^2\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}\\ &=-\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla(\nabla\cdot \frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})-\nabla\times(\nabla\times\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\mathrm{d}V^{'}\\ &=-\nabla(\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'})+\nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\times\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}) \end{align*} $$

$$ \therefore \phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}, \boldsymbol{W}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\times\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'} $$

$$ \begin{align*} \phi(\boldsymbol{r})&=\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}\\ &=\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla(\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})\mathrm{d}V^{'} \tag{2} \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla^{'}(\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})\mathrm{d}V^{'} \tag{3} \\ &=-\frac{1}{4\pi}(\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}-\int_V \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}) \tag{4} \\ &=\frac{1}{4\pi}(\int_V \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}-\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\\ \end{align*} $$

同理：

$$ \begin{align*} \boldsymbol{W}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}(\int_V \frac{\nabla^{'}\times\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}-\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\\ \end{align*} $$

索引：

(1). δ函数与拉普拉斯

(2). 复合矢量场的散度、旋度

(3). 针对场点、源点的算符转换

(4). 分部积分法

经过场的存在性分析，可得：

在矢量场在无穷远处比1/r更快趋于0，它的散度和旋度在无穷远处比1/r²更快趋于0的情况下

$$ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=-\nabla(\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'})+\nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\nabla^{'}\times\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}) $$

如果我们有：

∇ ⋅ F(r) = D(r) ∇ × F(r) = C(r) (∇ ⋅ C = 0)

就可以通过一个矢量场的散度和旋度来表示这个场

$$ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=-\nabla(\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{D(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'})+\nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{C}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}) $$

解释

总思路

我们需要分解的矢量场的自变量是r，即场点。根据场和场源的关系，我们可以立足于某一场点，把整个空间的全部r^′（源点）全部积分（遍历然后加起来）一遍，就可以得到这个场点上的矢量场。这个换元操作是通过δ函数实现的。

F(r) = ∫_VF(r^′)δ³(r − r^′)dV^′

δ函数与拉普拉斯

$$ \begin{align*} \because\, &\nabla\cdot(\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2})=4\pi\delta^3(\boldsymbol{r})\\ &\nabla\,(\frac{1}{r})=-\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}\\ \end{align*} $$

$$ \therefore \nabla^2(\frac{1}{r})=-4\pi\delta^3(\boldsymbol{r}) $$

与径矢相关的梯度散度旋度

承接上一块的矢量分析，把关于r的公式都贴在这里：

$$ \nabla r^2=\frac{\partial}{\partial r}(\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{r})=2\boldsymbol{r},\; \nabla r=\hat{\boldsymbol{r}},\; \nabla r^n=nr^{n-1}\hat{\boldsymbol{r}} $$

$$ \nabla \cdot \boldsymbol{r}=3,\; \nabla \cdot \hat{\boldsymbol{r}}=\frac{2}{r},\; \nabla\cdot (r^n\hat{\boldsymbol{r}})=(n+2)r^{n-1}(n\neq -2) $$

$$ \nabla\times (r^n\hat{\boldsymbol{r}})=0 $$

复合矢量场的散度、旋度

刚开始学的时候需要适应一下。

∇ ⋅ (fA) = ∇f ⋅ A + f∇ ⋅ A

∇ × (fA) = ∇f × A + f∇ × A

针对场点、源点的算符转换

∇ = −∇^′

这是在说，求一个向量场对于r（场点）的微分，和求它对于r^′（源点）的微分是相反的。见图：

为了得到相同的ι^′，r和r^′需以相反方向改变自己的长度，因而出现了一个负号。

分部积分法

高斯公式和斯托克斯公式下的分部积分法。

∫_V∇f ⋅ AdV = ∮_SfA ⋅ dS − ∫_Vf∇ ⋅ AdV

∫_S∇f × AdS = ∮_LfA ⋅ dl − ∫_Sf(∇ × A) ⋅ dS

场的存在性分析

ϕ，W的形式相似，只是一个点乘一个叉乘的区别，所以分析其中一个就行（这里选ϕ）。

$$\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi}(\int_V \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}-\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})$$

为了让ϕ在无界域V中存在，在r^′ → ∞处，三重积分项应收敛，曲面积分项应趋于0。

对于三重积分：

$$ \text{let} \;{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}\sim \frac{1}{r^\delta} $$

$$ \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V \sim \frac{r^3}{r*r^\delta}\sim r^{2-\delta} $$

$$ \lim_{r^{'}\to\infty} \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V=\lim_{r^{'}\to \infty} r^{2-\delta}=0 \Rightarrow \delta>2 $$

所以∇^′ ⋅ F(r^′)，即矢量场的散度，应比1/r²收敛更快。

曲面积分也同理：F(r^′)应比1/r收敛更快。

因此：矢量场的散度、旋度收敛快于1/r²，矢量场本身快于1/r