亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理保证了矢量场在特定条件下（矢量场在无穷远处比\(1/r\)更快趋于0，它的散度和旋度在无穷远处比\(1/r^2\)更快趋于0），可被分解为一个无旋场（梯度场）和一个无散场（旋度场）。
\[ \boldsymbol{F}=-\nabla \phi+\nabla\times \boldsymbol{W} \]
若
\[ \nabla\cdot\boldsymbol{F}=D \]
\[ \nabla \times \boldsymbol{F}=\boldsymbol{C} \]
则
\[ \phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{D(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'} \]
\[ \boldsymbol{W}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{C}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'} \]
本篇记录下我艰辛的推导过程，解释得比较详细（看推导的时候可以随时跳转）。
推导过程
\[ \begin{align*} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})&=\int_V \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})\,\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}})\mathrm{d}V^{'}\\ &=\int_V\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}^{'})\,(-\frac{1}{4\pi}\nabla^2(\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}))\mathrm{d}V^{'} \tag{1} \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla^2\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}\\ &=-\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla(\nabla\cdot \frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})-\nabla\times(\nabla\times\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\mathrm{d}V^{'}\\ &=-\nabla(\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'})+\nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\times\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}) \end{align*} \]
\[ \therefore \phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}, \boldsymbol{W}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\times\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'} \]
\[ \begin{align*} \phi(\boldsymbol{r})&=\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla\cdot\frac{\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}\\ &=\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla(\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})\mathrm{d}V^{'} \tag{2} \\ &=-\frac{1}{4\pi}\int_V\nabla^{'}(\frac{1}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})\mathrm{d}V^{'} \tag{3} \\ &=-\frac{1}{4\pi}(\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}-\int_V \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}) \tag{4} \\ &=\frac{1}{4\pi}(\int_V \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}-\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\\ \end{align*} \]
同理：
\[ \begin{align*} \boldsymbol{W}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}(\int_V \frac{\nabla^{'}\times\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}-\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\\ \end{align*} \]
索引：
(1). δ函数与拉普拉斯
(2). 复合矢量场的散度、旋度
(3). 针对场点、源点的算符转换
(4). 分部积分法
经过场的存在性分析，可得：
在矢量场在无穷远处比\(1/r\)更快趋于0，它的散度和旋度在无穷远处比\(1/r^2\)更快趋于0的情况下
\[ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=-\nabla(\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'})+\nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\nabla^{'}\times\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}) \]
如果我们有：
\[ \nabla\cdot \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=D(\boldsymbol{r}) \] \[ \nabla\times \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{C}(\boldsymbol{r})\; (\nabla\cdot \boldsymbol{C}=0) \]
就可以通过一个矢量场的散度和旋度来表示这个场
\[ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=-\nabla(\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{D(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'})+\nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\boldsymbol{C}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}) \]
解释
总思路
我们需要分解的矢量场的自变量是\(\boldsymbol{r}\)，即场点。根据场和场源的关系，我们可以立足于某一场点，把整个空间的全部\(\boldsymbol{r}^{'}\)（源点）全部积分（遍历然后加起来）一遍，就可以得到这个场点上的矢量场。这个换元操作是通过\(\delta\)函数实现的。
\[ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=\int_V \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}^{'})\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{'})\mathrm{d}V^{'} \]
δ函数与拉普拉斯
\[ \begin{align*} \because\, &\nabla\cdot(\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2})=4\pi\delta^3(\boldsymbol{r})\\ &\nabla\,(\frac{1}{r})=-\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}\\ \end{align*} \]
\[ \therefore \nabla^2(\frac{1}{r})=-4\pi\delta^3(\boldsymbol{r}) \]
与径矢相关的梯度散度旋度
承接上一块的矢量分析，把关于\(\boldsymbol{r}\)的公式都贴在这里：
\[ \nabla r^2=\frac{\partial}{\partial r}(\boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{r})=2\boldsymbol{r},\; \nabla r=\hat{\boldsymbol{r}},\; \nabla r^n=nr^{n-1}\hat{\boldsymbol{r}} \]
\[ \nabla \cdot \boldsymbol{r}=3,\; \nabla \cdot \hat{\boldsymbol{r}}=\frac{2}{r},\; \nabla\cdot (r^n\hat{\boldsymbol{r}})=(n+2)r^{n-1}(n\neq -2) \]
\[ \nabla\times (r^n\hat{\boldsymbol{r}})=0 \]
复合矢量场的散度、旋度
刚开始学的时候需要适应一下。
\[ \nabla\cdot(f\boldsymbol{A})=\nabla f\cdot\boldsymbol{A}+f\nabla\cdot\boldsymbol{A} \]
\[ \nabla \times (f\boldsymbol{A})=\nabla f\times\boldsymbol{A}+f\nabla\times\boldsymbol{A} \]
针对场点、源点的算符转换
\[ \nabla=-\nabla^{'} \]
这是在说，求一个向量场对于\(\boldsymbol{r}\)（场点）的微分，和求它对于\(\boldsymbol{r}^{'}\)（源点）的微分是相反的。见图：
为了得到相同的\(\iota^{'}\)，\(\boldsymbol{r}\)和\(\boldsymbol{r}^{'}\)需以相反方向改变自己的长度，因而出现了一个负号。
分部积分法
高斯公式和斯托克斯公式下的分部积分法。
\[ \int_V \nabla f\cdot\boldsymbol{A}\mathrm{d}V=\oint_S f\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}-\int_V f\nabla\cdot\boldsymbol{A}\mathrm{d}V \]
\[ \int_S \nabla f\times\boldsymbol{A}\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\oint_L f\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}l-\int_S f(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \]
场的存在性分析
\(\phi\)，\(\boldsymbol{W}\)的形式相似，只是一个点乘一个叉乘的区别，所以分析其中一个就行（这里选\(\phi\)）。
\[\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi}(\int_V \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}-\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\]
为了让\(\phi\)在无界域\(V\)中存在，在\(r^{'}\to\infty\)处，三重积分项应收敛，曲面积分项应趋于0。
对于三重积分：
\[ \text{let} \;{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}\sim \frac{1}{r^\delta} \]
\[ \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V \sim \frac{r^3}{r*r^\delta}\sim r^{2-\delta} \]
\[ \lim_{r^{'}\to\infty} \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V=\lim_{r^{'}\to \infty} r^{2-\delta}=0 \Rightarrow \delta>2 \]
所以\({\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}\)，即矢量场的散度，应比\(1/r^2\)收敛更快。
曲面积分也同理：\(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}^{'})\)应比\(1/r\)收敛更快。
因此：矢量场的散度、旋度收敛快于\(1/r^2\)，矢量场本身快于\(1/r\)