等价关系与划分

XantC

理解等价关系的关键，是明白“等价”是关系的性质，而不是元素的性质。

等价是指“关系下的某些元素在满足这个关系上是等价的”。也就是说，对于三个元素x, y, z和关系R，不管用什么方式把这些元素摆在▫R▫中，关系都会成立（这可以从它的三个等价条件中得到：自反性、对称性、传递性）。因而，要想使满足这个关系的一些元素等价，这个关系本身应该事先提供这种可能性。而元素的任务，仅仅是让自己满足一个限制条件而已，等价与否则是限制条件本身的性质。

举个例子，平行和垂直，前者是等价关系，后者不是。而后者不是的原因，显然出自“垂直”本身。任何一条线都不会同它自己垂直，因而不可能是一个等价关系。

接下来，划分概念的引出就很自然了。由于“关系下的某些元素在满足这个关系上是等价的”，它们自然可以被打包进一个集合，或者说，把整个集合拆分成不同的组。

同样，等价和划分也可以通过商集来互相转换。

接下来给出一些概念和定理：

等价类: [x]_∼ = {t ∈ X | t ∼ x}

引理: ∀x, y ∈ X, [x]_∼ = [y]_∼ or [x]_∼ ∩ [y]_∼ = 0

$$ \begin{align*} 划分\colon S\subset \mathcal{P}(X)-\lbrace\emptyset\rbrace，满足 &(1)\;\forall a,b\in S, a\cap b=\emptyset\\ &(2)\bigcup S=X \end{align*} $$

商集: X∖∼  = {[x]_∼ | x ∈ X}

等价与划分的转换:

$$ 若\sim为一个等价关系，那么 X\backslash \sim 是X的一个划分$$

若S是X的一个划分，那么有等价关系∼_S = {(x, y) ∈ X² | ∃c ∈ S(x ∈ c ∧ y ∈ c)}