等价关系与划分

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理解等价关系的关键，是明白“等价”是关系的性质，而不是元素的性质。

等价是指“关系下的某些元素在满足这个关系上是等价的”。也就是说，对于三个元素\(x,y,z\)和关系\(R\)，不管用什么方式把这些元素摆在\(\square R\square\)中，关系都会成立（这可以从它的三个等价条件中得到：自反性、对称性、传递性）。因而，要想使满足这个关系的一些元素等价，这个关系本身应该事先提供这种可能性。而元素的任务，仅仅是让自己满足一个限制条件而已，等价与否则是限制条件本身的性质。

举个例子，平行和垂直，前者是等价关系，后者不是。而后者不是的原因，显然出自“垂直”本身。任何一条线都不会同它自己垂直，因而不可能是一个等价关系。

接下来，划分概念的引出就很自然了。由于“关系下的某些元素在满足这个关系上是等价的”，它们自然可以被打包进一个集合，或者说，把整个集合拆分成不同的组。

同样，等价和划分也可以通过商集来互相转换。

接下来给出一些概念和定理：

\[ 等价类\colon [x]_{\sim}=\lbrace t\in X\;|\;t\sim x \rbrace \]

\[ 引理\colon \forall x,y\in X, [x]_{\sim}=[y]_{\sim} \;\text{or}\; [x]_{\sim}\cap[y]_{\sim}=0 \]

\[ \begin{align*} 划分\colon S\subset \mathcal{P}(X)-\lbrace\emptyset\rbrace，满足 &(1)\;\forall a,b\in S, a\cap b=\emptyset\\ &(2)\bigcup S=X \end{align*} \]

\[ 商集\colon X\backslash \sim\;=\lbrace [x]_{\sim}\;|\;x\in X\rbrace \]

\[等价与划分的转换\colon\]

\[ 若\sim为一个等价关系，那么 X\backslash \sim 是X的一个划分\]

\[若S是X的一个划分，那么有等价关系\sim_{S}=\lbrace(x,y)\in X^2\;|\;\exists c\in S( x\in c \wedge y\in c)\rbrace \]