积分关系公式汇总

XantC

格林公式

联系曲线积分与二重积分:

$$ \oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$

高斯公式

联系曲面积分与三重积分:

$$ {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V $$

$$ {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\iiint_{\Omega}\text{div}\; \boldsymbol{A}\mathrm{d}V $$

通量与散度

$$ 通量是 {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}，则\text{div}\;\boldsymbol{A}为单位通量，即散度 $$

$$ \text{div}\;\boldsymbol{A}=\nabla\cdot\boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$

斯托克斯公式

联系曲线积分与曲面积分:

$$ \begin{align*} \oint_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z&=\iint_{\Sigma}\begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z&\mathrm{d}z\mathrm{d}x&\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R \end{vmatrix}\\ &=\iint_{\Sigma}\begin{vmatrix} \cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R \end{vmatrix}\mathrm{d}S\\ \end{align*} $$

∮_LA ⋅ dr = ∬_Σrot A ⋅ ndS

格林公式是斯托克斯公式在二维的弱化

环流量与旋度

$$ 环流量是 \oint_{\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}，则\begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R \end{vmatrix}为单位环流量，即旋度 $$

$$ \mathbf{rot}\;\boldsymbol{A}=\nabla\times\boldsymbol{A}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}& \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R \end{vmatrix} $$

物理量

梯度: grad A = ∇A

散度: div A = ∇ ⋅ A

旋度: rot A = ∇ × A

三个公式的统一

外积

为了让计算本身能够自动导出积分方向（正负），定义外积:

dx ∧ dy = −dy ∧ dx

dx ∧ (dy + dz) = dx ∧ dy + dx ∧ dz

(dx ∧ dy) ∧ dz = dx ∧ (dy ∧ dz)

|dx ∧ dy| = dxdy

外微分

ω₀ = f

ω₁ = Pdx + Qdy + Rdz

ω₂ = Adx ∧ dy + Bdy ∧ dz + Cdz ∧ dx

ω₃ = Fdx ∧ dy ∧ dz

计算案例

当做全微分计算:

$$ \begin{align*} \mathrm{d}\omega_1&=\mathrm{d}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)\\ &=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}x+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}y\\ &=(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \end{align*} $$

统一公式

∫_∂Dω = ∫_Ddω