活动标架
XantC
这里不提曲线论下的活动标架，因为曲线单参数，只用导数的\(Frenet\)标架就可以搞定。我们只关心曲面。
所谓活动标架，是与曲面本身联系不紧的，附着在曲面每一点上的局部标架。例如，我们可以通过使\(\boldsymbol{e_1}\)与\(\boldsymbol{e_2}\)正交，让原本不正交的曲纹坐标变为更易处理的正交标架。我们还可以让它们在切平面上做一个转动，使\(\boldsymbol{e_1}\)成为曲面上一直线的切向量，甚至于主曲率的方向，进而研究曲面上与方向相关的问题。以上说明的两种做法，就是曲面的一阶和二阶标架场。
三维空间内的标架族
\[ \mathrm{d}\begin{pmatrix} \boldsymbol{r}\\\boldsymbol{e_1}\\\boldsymbol{e_2}\\\boldsymbol{e_3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \omega^1&\omega^2&\omega^3\\ \omega^1_1&\omega^2_1&\omega^3_1\\ \omega^1_2&\omega^2_2&\omega^3_2\\ \omega^1_3&\omega^2_3&\omega^3_3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e_1}\\\boldsymbol{e_2}\\\boldsymbol{e_3}\\ \end{pmatrix} \]
曲面的自然标架场
取\(\lbrace p;\boldsymbol{r_u},\boldsymbol{r_v},\boldsymbol{n}\rbrace\)作为标架场，再通过其运动公式来得到活动标架的相对分量。
\[ \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u^{\alpha}}=\boldsymbol{r}_\alpha\\ \displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{r_\alpha}}{\partial u^{\beta}}=\boldsymbol{\Gamma}^{\gamma}_{\alpha\beta}\boldsymbol{r_\gamma}+b_{\alpha\beta}\boldsymbol{n}\\ \displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{n}}{\partial u^{\beta}}=-b^\gamma_\beta\boldsymbol{r}_\gamma \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r_\alpha}\mathrm{d}u^{\alpha}\\ \mathrm{d}\boldsymbol{e_\alpha}=\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}\mathrm{d}u^{\beta}\boldsymbol{e_\gamma}+b_{\alpha\beta}\mathrm{d}u^{\beta}\boldsymbol{e_3}\,(\alpha,\gamma=1,2)\\ \mathrm{d}\boldsymbol{e_3}=-b^{\gamma}_{\beta}\mathrm{d}u^{\beta}\boldsymbol{e_\gamma}\,(\gamma=1,2)\\ \end{cases} \]
曲面的一阶标架场
曲面的一阶标架场就是\(\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}\)为切向量的单位正交标架场。
由\(\boldsymbol{e_i}\cdot\boldsymbol{e_j}=0\;(i\neq j)\)，可得到矩阵中\(\omega^i_j=-\omega^j_i,\,\omega^i_i=0\)。
\[ \mathrm{d}\begin{pmatrix} \boldsymbol{r}\\\boldsymbol{e_1}\\\boldsymbol{e_2}\\\boldsymbol{e_3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \omega^1&\omega^2&0\\ 0&\omega^2_1&\omega^3_1\\ \omega^1_2&0&\omega^3_2\\ \omega^1_3&\omega^2_3&0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \boldsymbol{e_1}\\\boldsymbol{e_2}\\\boldsymbol{e_3}\\ \end{pmatrix} \]