正定矩阵

XantC

通过Strang的线代书，我深切意识到数学里的很多东西都可以用线代来做。太恐怖了。

正定矩阵的五个等价条件

我把特征值皆为正值作为正定矩阵的定义，由此推出它的另外四个充要条件，得到五个等价的条件。

怎么处理正定矩阵的分解问题？

一种是在对角线写上每个平方项的系数，然后剩余位置对应地写上其余二次项的一半。

第二种是把代数式因式分解成几个平方式的和，然后构造一个|Ax|²中的A，用S = A^TA。

应用

椭圆

二元函数极值

我们通过考察某点与其邻域内各点的函数值之差，来判断该点函数的极值情况。

$$ \begin{align*} \Delta f&=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)\\ &=f_{xx}(\Delta x)^2+2f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}(\Delta y)^2\\ &=\begin{bmatrix} \Delta x&\Delta y\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x\\\Delta y \end{bmatrix}\\ &=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}S\boldsymbol{x} \end{align*} $$

这时，Δf的正负就与矩阵S为正定或负定直接相关：

Case 1: f_xx > 0 and f_xxf_yy − (f_xy)² > 0

 ⇒ x^TSx > 0

 ⇒ Δf > 0

∴ 在该点取极小值

Case 2: f_xx < 0 and f_xxf_yy − (f_xy)² > 0

 ⇒ x^TSx < 0

 ⇒ Δf < 0

∴ 在该点取极小值

Case 3: f_xxf_yy − (f_xy)² < 0

 ⇒ x^TSx的正负与x有关

∴ 该点不是极值点

Case 4: f_xxf_yy − (f_xy)² = 0

 ⇒ x^TSx的正负无法确定

∴ 无法确定该点是否为极值点