正定矩阵

XantC

通过Strang的线代书，我深切意识到数学里的很多东西都可以用线代来做。太恐怖了。

正定矩阵的五个等价条件

我把特征值皆为正值作为正定矩阵的定义，由此推出它的另外四个充要条件，得到五个等价的条件。

怎么处理正定矩阵的分解问题？

一种是在对角线写上每个平方项的系数，然后剩余位置对应地写上其余二次项的一半。

第二种是把代数式因式分解成几个平方式的和，然后构造一个\(|A\boldsymbol{x}|^2\)中的\(A\)，用\(S=A^\mathrm{T}A\)。

应用

椭圆

二元函数极值

我们通过考察某点与其邻域内各点的函数值之差，来判断该点函数的极值情况。

\[ \begin{align*} \Delta f&=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)\\ &=f_{xx}(\Delta x)^2+2f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}(\Delta y)^2\\ &=\begin{bmatrix} \Delta x&\Delta y\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x\\\Delta y \end{bmatrix}\\ &=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}S\boldsymbol{x} \end{align*} \]

这时，\(\Delta f\)的正负就与矩阵\(S\)为正定或负定直接相关：

\[ \mathrm{Case}\ 1\colon\enspace f_{xx}>0\; \mathrm{and}\; f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2>0 \]

\[ \Rightarrow \boldsymbol{x}^\mathrm{T}S\boldsymbol{x}>0 \]

\[ \Rightarrow \Delta f>0 \]

\[ \therefore 在该点取极小值 \]

\[ \mathrm{Case}\ 2\colon\enspace f_{xx}<0\; \mathrm{and}\; f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2>0 \]

\[ \Rightarrow \boldsymbol{x}^\mathrm{T}S\boldsymbol{x}<0 \]

\[ \Rightarrow \Delta f<0 \]

\[ \therefore 在该点取极小值 \]

\[ \mathrm{Case}\ 3\colon\enspace f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2<0 \]

\[ \Rightarrow \boldsymbol{x}^\mathrm{T}S\boldsymbol{x}的正负与\boldsymbol{x}有关 \]

\[ \therefore 该点不是极值点 \]

\[ \mathrm{Case}\ 4\colon\enspace f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=0 \]

\[ \Rightarrow \boldsymbol{x}^\mathrm{T}S\boldsymbol{x}的正负无法确定 \]

\[ \therefore 无法确定该点是否为极值点 \]