投影问题
XantC
向量到平面投影
对于一向量\(\boldsymbol{a}\)，其到以\(\boldsymbol{n}\)为法向量的平面的投影，为：
\[ Prj=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{n} \]
线性投影
这类问题是把“一个向量”投影到“一个矩阵的列空间”上的，可以看作是上一部分的推广。而此时原向量和投影向量的差，是垂直与矩阵的列空间，也就是在它的左零空间里的。如果我们设一个\(n=r\)的矩阵为\(A\)，投影向量满足\(p=A\bar{x}\)，则有\(A^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{b}-A\bar{x})=0\)
所以：
\[ A^{\mathrm{T}}A\bar{x}=A^{\mathrm{T}}\boldsymbol{b} \]
由于\(A^{\mathrm{T}}A\)可逆，我们就可以直接求解这个矩阵方程，然后得到{x}$。
如果想要再进一步得到对于\(C(A)\)的投影矩阵（也就是直接作用于目标向量\(b\)的矩阵），我们可以：
\[ \bar{x}=(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}\boldsymbol{b} \]
\[ \because p=P\boldsymbol{b}=A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}\boldsymbol{b} \]
\[ \therefore P=A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}} \]
曲线到平面投影
在研究曲线到平面投影的时候，我们可能担心不同位置的平面是否会导致投影曲线的不同（特别是平面插在曲线里上下移动的时候），但其实这与位置无关。我目前还不会用说理的办法来解释，于是使用代数。
如果我们使用向量值函数来表示曲线，即\(\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\)（此处不能把曲线的不变量作为参数，比如弧长，它在做投影之后肯定会变），那么原曲线切向量的投影必定和投影曲线的切向量同向（单位切向量相等）。
我们设原曲线为\(\boldsymbol{r_0}(t)=(x(t), y(t),z(t))\)，投影曲线为\(\boldsymbol{r_1}(t)\)，则有：
\[ \begin{align*} \boldsymbol{r_1}^{'}&=k*Prj(\boldsymbol{r_0}^{'})\\ &=k\,(\boldsymbol{r_0}^{'}-(\boldsymbol{r_0}^{'}\cdot\boldsymbol{n})\boldsymbol{n})\\ &=k(\boldsymbol{r_0}^{'}-(\boldsymbol{r_0}\cdot \boldsymbol{n})^{'}\boldsymbol{n}) \end{align*} \]
\[ \Rightarrow \boldsymbol{r_1}=k(\boldsymbol{r_0}-(\boldsymbol{r_0}\cdot\boldsymbol{n}+c_0)\boldsymbol{n})+\boldsymbol{e_0} \]
\[ \begin{align*} 0&=(\boldsymbol{r_1}-\boldsymbol{r_0})\times\boldsymbol{n}\\ &=((k-1)\boldsymbol{r_0}-k(\boldsymbol{r_0}\cdot\boldsymbol{n}+c_0)\boldsymbol{n}+\boldsymbol{e_0})\times\boldsymbol{n}\\ &=((k-1)\boldsymbol{r_0}+\boldsymbol{e_0})\times\boldsymbol{n}\\ \end{align*} \]
\[ 令(k-1)\boldsymbol{r_0}+\boldsymbol{e_0}=\mu\boldsymbol{n} \]
\[ \begin{align*} \Rightarrow \boldsymbol{r_1}&=((k-1)\boldsymbol{r_0}+\boldsymbol{e_0})+(\boldsymbol{r_0}-k(\boldsymbol{r_0}\cdot \boldsymbol{n})\boldsymbol{n})\\ &=\boldsymbol{r_0}+(\mu-k(\boldsymbol{r_0}\cdot\boldsymbol{n}+c_0))\boldsymbol{n}\\ &=\boldsymbol{r_0}+(k\boldsymbol{r_0}\cdot\boldsymbol{n}+c_0)\boldsymbol{n}\\ \end{align*}\]
\[ \Rightarrow \boldsymbol{r_1}^{'}=\boldsymbol{r_0}^{'}\Rightarrow k=1 \]
\[ \therefore \boldsymbol{r_1}=\boldsymbol{r_0}+(\boldsymbol{r_0}\cdot\boldsymbol{n}+c_0)\boldsymbol{n} \]
根据最后的式子，我们可以看出投影曲线的确与平面本身的位置无关。而由于常数\(c_0\)的存在，我们得到的其实是一组垂直于曲面法向量的曲线；\(c_0\)则负责这些曲线之间的平移。