向量叉乘

XantC

定义

几何定义

\[ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\hat{\boldsymbol{n}} \]

\[ 其中\hat{\boldsymbol{n}}是垂直于\boldsymbol{a}、\boldsymbol{b}所在平面的单位向量，用右手螺旋定则确定方向 \]

代数定义

\[ \boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}, \, \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix} \]

\[ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} && \boldsymbol{j} && \boldsymbol{k}\\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3\\ \end{vmatrix} = \boldsymbol{i}\begin{vmatrix} a_2&&a_3\\b_2&&b_3 \end{vmatrix}- \boldsymbol{j}\begin{vmatrix} a_1&&a_3\\b_1&&b_3 \end{vmatrix}+ \boldsymbol{k}\begin{vmatrix} a_1&&a_2\\b_1&&b_2 \end{vmatrix} \]

\[ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(a_2b_3-a_3b_2)\boldsymbol{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\boldsymbol{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\boldsymbol{k} \]

推导

\[ \begin{align*} \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=&(a_1\boldsymbol{i}+a_2\boldsymbol{j}+a_3\boldsymbol{k})\times(b_1\boldsymbol{i}+b_2\boldsymbol{j}+b_3\boldsymbol{k})\\ =&(a_2b_3-a_3b_2)\boldsymbol{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\boldsymbol{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\boldsymbol{k}\\ \end{align*} \]

意义

几何意义

\[ |\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta \]

\[ \Rightarrow S_{\Delta}=\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|\,,S_{\text{平四}}=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| \]

混合积

定义

\[ \boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}, \, \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}, \, \boldsymbol{c}=\begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3 \end{bmatrix} \]

\[ \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=\begin{vmatrix} a_1&&a_2&&a_3\\ b_1&&b_2&&b_3\\ c_1&&c_2&&c_3\\ \end{vmatrix} \]

几何意义

\[ 表示\boldsymbol{a}、\boldsymbol{b}、\boldsymbol{c}构成的平行六面体的体积 \]