一些积分
XantC
目录
分母为二次式或根号下二次式
思路
\[ 把x代入为某个三角或双曲函数 \]
二次式
\[ \int\frac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+\mathrm{C} \]
\[ \int\frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+\mathrm{C} \]
根号下二次式
\[ \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin(\frac{x}{a})+\mathrm{C} \enspace(|x|<a) \]
\[ \int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{arsinh}(\frac{x}{a})+\mathrm{C} \]
\[ \int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{arcosh}(\frac{x}{a})+\mathrm{C}\enspace(x>a) \]