微分方程解法集

XantC

整理自同济大学出版社《高等数学》第七版上册。

可分离变量的微分方程

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x)g(y) $$

$$ \frac{\mathrm{d}y}{g(y)} = f(x)\mathrm{d}x $$

一阶微分齐次方程

$$ 可化为 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\frac{y}{x})的方程 $$

$$ u \triangleq \frac{y}{x},\ y = ux,\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u^{'}x+u $$

u^′x + u = f(u)

$$ \frac{\mathrm{d}u}{f(u) - u} = \frac{\mathrm{d}x}{x} $$

可(通过变量代换)化为齐次的方程

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} $$

case 1 变量系数不等比例

$$ when \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \neq 0 $$

u ≜ x + H, v ≜ y + K

$$ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v} = \frac{a_1u+b_1v+(a_1H+b_1K+c_1)}{a_2u+b_2v+(a_2H+b_2K+c_2)} $$

$$ let \begin{bmatrix} H \\ K \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -c_1 \\ -c_2 \end{bmatrix} $$

$$ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v} = \frac{a_1u+b_1v}{a_2u+b_2v} = f(\frac{u}{v}) $$

case 2 变量参数等比例

此时无法再沿用齐次的思路

$$ \exist \lambda , \hspace{2pt} \text{s.t.} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a_1x+b_1y+c_1}{\lambda(a_1x+b_1y)+c_2} $$

$$ u \triangleq a_1x+b_1y, \hspace{1pt} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{b_1}(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} - a_1) $$

$$ \Rightarrow \frac{1}{b_1}(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} - a_1) = \frac{u+c_1}{\lambda u + c_2} $$

$$ \frac{(\lambda u + c_2)\mathrm{d}u}{(a_1\lambda + b_1)u+(a_1c_2+b_1c_1)} = \mathrm{d}x $$

$$ 另外，以上方法也可用于 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}) $$

一阶线性微分方程

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x) $$

一阶线性齐次微分方程

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = 0 $$

$$ \frac{\mathrm{d}y}{y} = -P(x)\mathrm{d}x $$

y = Ce^−∫P(x)dx

一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）

常数变易法，是在驱动项Q(x)的影响下，把常数C替代为一个函数u(x)，再解出这个函数的方法。

原初地说（刚刚“猜”出这个方法之时），这个方法自然是不知可行与否的。但成功之后，我们就能发现以下的原理。

y₀ ≜ e^−∫P(x)dx ⇒ y₀^′ + P(x)y₀ = 0

y = uy₀ ⇒ y^′ = u^′y₀ + uy₀^′

 ⇒ u^′y₀ + uy₀^′ + P(x)y = Q(x)

$$ \Rightarrow u^{'}y_0 + u\underbrace{(y_0^{'}+P(x)y)}_{0!} = Q(x) $$

 ⇒ u^′y₀ = Q(x)

$$ \Rightarrow u = \int \frac{Q(x)}{y_0}\mathrm{d}x +C $$

$$ \begin{align*} \therefore y &= \mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}(C+\int Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x) \\ &=C\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\int Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\\ \end{align*} $$

变量代换法

这是适用于所有微分方程的通法，将复杂方程化为处理过的简单方程。

为了引出伯努利方程中著名的变量代换，把变量代换法放在这里。

伯努利方程

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y = Q(x)y^n $$

$$ \Leftrightarrow y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y^{1-n}P(x) = Q(x) $$

$$ z \triangleq y^{1-n} \Rightarrow \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = (1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} $$

$$ \Rightarrow \frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + P(x)z = Q(x) $$

可降阶的高阶微分方程

y(n) = f(x)型

多次积分即可。

y’’ = f(x,y’)型

y^″ = f(x, y^′)

p ≜ y^′ ⇒ y^″ = p^′

 ⇒ p^′ = f(x, p)

设该方程通解为p = ϕ(x, C₁)

y = ∫ϕ(x, C₁)dx + C₂

有这样的变量代换，并不意味着能够简单地解出任何该类方程。因为关于p的一阶微分方程未必是线性的，可能在我们的能力范围内求不出通解。

y’’ = f(y,y’)型

y^″ = f(y, y^′)

$$ p \triangleq y^{'} \Rightarrow y^{''} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} $$

$$ \Rightarrow p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y, p) $$

设该方程通解为p = ϕ(y, C₁)

$$ \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \phi(y, C_1) $$

$$ \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\phi(u, C_1)} =\mathrm{d}x $$

该法的局限性同上。

y’’ = f(y)型

y^″ = f(y)

 ⇔ 2y^′y^″ = 2y^′f(y)

(F(x))^′ ≜ y^′F(y)

 ⇒ ((y^′)²)^′ = (2F(x))^′

 ⇔ (y^′)² = 2F(x)

$$ \Leftrightarrow \mathrm{d}y = \pm\sqrt{2F(x)}\mathrm{d}x $$