针对场点、源点的算符转换
\[ \nabla=-\nabla^{'} \]
这是在说，求一个向量场对于\(\boldsymbol{r}\)（场点）的微分，和求它对于\(\boldsymbol{r}^{'}\)（源点）的微分是相反的。见图：
为了得到相同的\(\iota^{'}\)，\(\boldsymbol{r}\)和\(\boldsymbol{r}^{'}\)需以相反方向改变自己的长度，因而出现了一个负号。
分部积分法
高斯公式和斯托克斯公式下的分部积分法。
\[ \int_V \nabla f\cdot\boldsymbol{A}\mathrm{d}V=\oint_S f\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}-\int_V f\nabla\cdot\boldsymbol{A}\mathrm{d}V \]
\[ \int_S \nabla f\times\boldsymbol{A}\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\oint_L f\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}l-\int_S f(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \]
场的存在性分析
\(\phi\)，\(\boldsymbol{W}\)的形式相似，只是一个点乘一个叉乘的区别，所以分析其中一个就行（这里选\(\phi\)）。
\[\phi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi}(\int_V \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F(\boldsymbol{r^{'}})}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V^{'}-\oint_S\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\frac{\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|})\]
为了让\(\phi\)在无界域\(V\)中存在，在\(r^{'}\to\infty\)处，三重积分项应收敛，曲面积分项应趋于0。
对于三重积分：
\[ \text{let} \;{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}\sim \frac{1}{r^\delta} \]
\[ \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V \sim \frac{r^3}{r*r^\delta}\sim r^{2-\delta} \]
\[ \lim_{r^{'}\to\infty} \frac{\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{'}}|}\mathrm{d}V=\lim_{r^{'}\to \infty} r^{2-\delta}=0 \Rightarrow \delta>2 \]
所以\({\nabla^{'}\cdot\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r^{'}})}\)，即矢量场的散度，应比\(1/r^2\)收敛更快。
曲面积分也同理：\(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}^{'})\)应比\(1/r\)收敛更快。
因此：矢量场的散度、旋度收敛快于\(1/r^2\)，矢量场本身快于\(1/r\)