用泰勒展开处理复杂分式

XantC

在处理分母上的无穷小量的时候，可以不用一般的分式通分，而使用泰勒展开。它们的区别在于：前者会把式子完全通分，再舍弃不需要的无穷小量，或者说是“从大到小舍弃”；而泰勒是“从零开始展开”，盯准我们要的最大次数，从头开始展，直接拿到我们想要的所有项。

比如说（同向）偶极子相互作用力的推导。对于三次及以上的分式，泰勒展开相较于通分的简便性就显现出来了。

\[ 已知偶极子激发的电场强度E=\frac{p}{2\pi\epsilon_0 r^3} \]

\[ \begin{align*} F&=F_{-}-F_{+}\\ &=\frac{p_1q_2}{2\pi\epsilon_0(r-\frac{l_2}{2})^3}-\frac{p_1q_2}{2\pi\epsilon_0(r-\frac{l+2}{2})^3}\\ &=\frac{p_1q_2}{2\pi\epsilon_0r^3}((1-\frac{l_2}{2r})^{-3}-(1+\frac{l_2}{2r})^{-3})\\ &=\frac{p_1q_2}{2\pi\epsilon_0r^3}((1+\frac{3l_2}{2r})-(1-\frac{3l_2}{2r}))\\ &=\frac{3p_1p_2}{2\pi\epsilon_0r^4}\\ \end{align*} \]