场与势函数

XantC

这里拿引力场和引力势来举例。

场是相互作用的媒介，能用一个函数来表示。势则是在场内做功而形成的；一般求微积分只能得到势的变化量，这时需要再定义一个势为零的位置，就可以得到势的表达式了。

对于引力场而言，场的函数为\(\displaystyle-\frac{Gm_0}{r^2}\boldsymbol{e_r}=-\frac{Gm_0}{r^2}(\frac{x}{r}, \frac{y}{r})\)，其中\(r\)为\(\sqrt{x^2+y^2}\)。

我们可以发现，场是另一个数量场的梯度场，即\(\displaystyle-\frac{Gm_0}{r^2}\boldsymbol{e_r}=\nabla \frac{Gm_0}{r}\)，因而在引力场内做功与路径无关（曲线积分基本定理）。它求积分之后就是两个\(\displaystyle-\frac{Gm_0}{r}\)的差。我们再定义无穷远处的势为0，则任意点的势就是\(\displaystyle-\frac{Gm_0}{r}\)，这也正是引力势的公式。

因而我们得到：场是势函数的梯度场。