一些基本模型的电场
XantC
场强基本理路：
\[ \; \displaystyle\mathrm{d}\boldsymbol{E}=\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\epsilon_0r^2} \boldsymbol{e_r}\]
\[ 2.\; \displaystyle {\int\kern{-7pt}\int \kern{-24mu} \bigcirc}_{S} \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{q}{\epsilon_0} \]
电势基本理路：
\[ 1. V_1-V_2=\oint_L \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} \]
\[ 2. \mathrm{d}V=\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\epsilon_0 r} \]
Attention:
用点电荷公式求场强的时候，要注意方向（取的是哪个方向的分量）。
电势的理路2是电势差定义（理路1）与点电荷场强、零势能点相结合的推导结果，不是它本身的定义。
一维
直线
直线长\(l\)，线密度\(\lambda\)，与线段中点相距\(r\)。
\[ \boldsymbol{E}=\frac{\lambda l}{2\pi\epsilon_0 r\sqrt{l^2+4r^2}}\boldsymbol{e_r} \]
无限长直线
线密度\(\lambda\)，与直线相距\(r\)
\[ \boldsymbol{E}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\boldsymbol{e_r} \]
二维
圆环（轴线）
圆环半径\(R\),线密度\(\lambda\)，与圆环圆心相距\(z\)
\[ \boldsymbol{E}=\frac{\lambda R z}{2\epsilon_0 (R^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\boldsymbol{e_r} \]
圆盘（轴线）
\[ \boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{1}{\sqrt{(\frac{R}{z})^2+1}})\boldsymbol{e_r} \]
无限大平板
取轴线与平板法向量平行的圆柱面作为高斯面。
\[ 2\pi R^2 E_n=\frac{\sigma\pi R^2}{\epsilon_0} \]
\[ \boldsymbol{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\boldsymbol{e_r} \]
三维
球体
球半径\(R\)，体密度\(\rho\)，与球心相距\(r\)。
\[ \boldsymbol{E}=\begin{cases} \displaystyle\frac{\rho}{3\epsilon_0}\boldsymbol{r} &\quad 0<r<R \\ \displaystyle\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}\boldsymbol{e_r} & \quad r\geq R\\ \end{cases} \]
球面
球半径\(R\)，面密度\(\sigma\)，与球心相距\(r\)。
\[ \boldsymbol{E}=\begin{cases} 0 &\quad 0<r<R \\ \displaystyle\frac{\sigma R^2}{\epsilon_0 r^2}\boldsymbol{e_r} &\quad r\geq R\\ \end{cases} \]
无限长圆柱体
圆柱底面半径\(R\)，体密度\(\rho\)，与轴线相距\(r\)。
\[ \boldsymbol{E}=\begin{cases} \displaystyle \frac{\rho r}{2\epsilon_0}\boldsymbol{e_r} &\quad 0<r<R\\ \displaystyle \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0 r}\boldsymbol{e_r} &\quad r\geq R\\ \end{cases} \]
无限长圆柱面
这个模型大多被用在导线上，所以条件一般是线密度。但面密度或者线密度都是可以做的。
圆柱底面半径\(R\)，与轴线相距\(r\,(r>R)\)。
面密度：
\[ \boldsymbol{E}=\frac{\sigma R}{\epsilon_0 r}\boldsymbol{e_r}\,(r>R) \]
线密度：
\[ \boldsymbol{E}=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}\boldsymbol{e_r}\,(r>R) \]
可以用\(q=\lambda h=\sigma 2\pi Rh\iff \lambda=\sigma 2\pi R\)来互相推导。