等式不等式技巧集
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- 次数型换元
高中不等式问题，一般只关乎幂函数及其复合函数：如果是整数次（多项式）还好，碰到分式和根式就很头疼，有时条件和所求函数之间似乎还毫无关联。
这种险恶的次数问题，可以通过换元来解决，就是把分式和根式换成新的字母，再用它们来表示所求函数。
\[ 例题1\quad \frac{1}{x+3y}+\frac{1}{2x+y}=1,\; f(x,y)=x+y的最小值？ \]
\[ 令a=\frac{1}{x+3y},\;b=\frac{1}{2x+y}\]
\[则a+b=1,\;x=-\frac{1}{5}(\frac{1}{a}-\frac{3}{b}),\;y=\frac{1}{5}(\frac{2}{a}-\frac{1}{b}) \]
\[ f(x,y)=x+y=\frac{1}{5}(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}) \]
\[ 易得f(x,y)最小值为\frac{3+2\sqrt{2}}{5} \]
- 柯西
毫无头绪的时候，不妨试试柯西。它能揭示式子与式子之间难以察觉的关系。在几何上就是“模积大于等于点积”
柯西常用两条：
\[ \begin{cases} (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\geq (\sum a_ib_i)^2\\ (\sum a_ib_i)\leq \sqrt{(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)} \end{cases} \]
\[ 例题2\quad \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{5x+y},\;求k最小值 \]
\[ (5x+y)(\frac{1}{5}+1)\geq(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 \]
\[ \sqrt{5x+y}\geq\frac{\sqrt{30}}{5}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \]
\[ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{5x+y}}\leq \frac{\sqrt{30}}{5} \]
\[ \therefore k最小值\frac{\sqrt{30}}{5} \]