用线性代数解线性微分方程组
XantC
从标量开始
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\lambda y \]
这是一个函数变化率与函数本身呈线性关系的方程，它的解显然是：
\[ y=y(0)\,\mathrm{e}^{\lambda t} \]
由此进行推广，我们可以考虑一个向量变化率与向量本身呈线性关系的微分方程（这是我在学微分几何的时候一直想干的）：
\[ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t}=A\boldsymbol{u} \]
它的解可以猜想为：
\[ \boldsymbol{u}=\mathrm{e}^{At}\boldsymbol{u}_0 \]
根据\(\mathrm{e}^{At}\)的展开，可知它的导数为\(A\mathrm{e}^{At}\)，满足方程。
\[ \begin{align*} \therefore\boldsymbol{u}&=\mathrm{e}^{At}\,\boldsymbol{u}(0)\\ &=X\mathrm{e}^{\Lambda t}X^{-1}\,\boldsymbol{u}(0)\\ &=X\mathrm{e}^{\Lambda t}X^{-1}X\boldsymbol{c}\\ &=Xe^{\Lambda t}\boldsymbol{c} \end{align*} \]
这是对于可对角化矩阵的解。但其实任何方程的解都可以写成\(\mathrm{e}^{At}\boldsymbol{u}_0\)，因为指数函数的泰勒展开具有普遍性。
二阶线性微分方程
矩阵的厉害之处，在于它可以处理一切线性关系。比如\(y^{''}+by^{'}+cy=0\)，我们可以把它写成：
\[ \begin{bmatrix} y\\y^{'} \end{bmatrix}^{'}=\begin{bmatrix} 0&1\\-c&-b\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y\\y^{'} \end{bmatrix} \]
这就是上文所讨论的方程类型，我们以此为例来做一下实践。
首先是能够对角化的，也就是方程\(\lambda^2+b\lambda+c=0\)有两不等根的情况。
\[ 此时\begin{bmatrix} y\\y^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1\\\lambda_1&\lambda_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathrm{e}^{\lambda_1 t}&\\&\mathrm{e}^{\lambda_2 t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\c_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 t}+c_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\\ c_1\lambda_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 t}+c_2\lambda_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 t} \end{bmatrix} \]
\[ \therefore y=c_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t}+c_2\mathrm{e}^{\lambda_2 t} \]
然后是不能对角化的，也就是\(\lambda^2+b\lambda+c=0\)有两相等实根的时候。我们这里会用上一个大招。
\[ \Delta=b^2-4c=0\Rightarrow c=\frac{b^2}{4} \]
\[ \begin{align*} \mathrm{e}^{At}&=e^{-\frac{b}{2}It}\mathrm{e}^{(A+\frac{b}{2}I)t}\\ &=I\mathrm{e}^{-\frac{b}{2}t}[I+(A+\frac{b}{2}I)t+\frac{1}{2}(A+\frac{b}{2}I)^2t^2+\cdots]\\ \end{align*} \]
\[ \because (A+\frac{b}{2}I)^2=\begin{bmatrix} \frac{b}{2}&1\\-c&-\frac{b}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{b}{2}&1\\-c&-\frac{b}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{align*} \therefore \mathrm{e}^{At}&=\mathrm{e}^{-\frac{b}{2}t}(I+(A+\frac{b}{2}I)t)\\ &=\mathrm{e}^{-\frac{b}{2}t}\begin{bmatrix} 1+\frac{b}{2}t&t\\ -ct&1-\frac{b}{2}t\\ \end{bmatrix} \end{align*} \]
\[ \Rightarrow \begin{bmatrix} y\\y^{'} \end{bmatrix}=\mathrm{e}^{-\frac{b}{2}t}\begin{bmatrix} 1+\frac{b}{2}t&t\\ -ct&1-\frac{b}{2}t\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y(0)\\y^{'}(0)\\ \end{bmatrix} \]
\[ \therefore y=t\mathrm{e}^{-\frac{b}{2}t}(\frac{b}{2}y(0)+y^{'}(0))+\mathrm{e}^{-\frac{b}{2}t}y(0) \]
这解释了在特征方程只有一解的情况下，函数中的\(t\mathrm{e}^{-\frac{b}{2}t}\)项是怎么来的了。
一切线性微分方程（组）
矩阵的另一个厉害之处，是它到多维的推广非常容易，因为矩阵在推导时就是一个隐藏维度的东西。
比如说一个一阶线性微分方程组，它的正常形式是\(f_i^{'}=\Sigma c_{ij}f_j\)：
\[ \begin{bmatrix} f_1\\f_2\\f_3 \end{bmatrix}^{'}=A\begin{bmatrix} f_1\\f_2\\f_3 \end{bmatrix} \]
把它化成矩阵之后，这就又变成了向量变化率与向量本身呈线性的方程问题，可以很快解决。
Ps：我有过把n阶微分方程化为矩阵来算的想法，实际试了之后发现问题出在一元n次方程（特征值）难以求解上面；从这里可以看出微分方程和代数方程之间的一点联系。