曲面论基本定理

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曲面论基本定理

前言

“曲面论基本定理”，具体来说可以被分成“曲面论唯一性定理”和“曲面论存在性定理”两件事情。唯一性定理说的是第一第二基本形式相同的两个曲面可以通过刚体运动来重合，也就是说“第一第二基本形式唯一确定一张曲面”；存在性定理说的是满足一定相容性条件的两个二次微分式，能够作为一个曲面的第一第二基本形式，进而形成一个曲面。

这两个定理分别对应了曲面的两个本质内容，一个是自然标架场的运动公式（证明唯一性定理），一个是Gauss-Codazzi方程，也叫曲面论基本方程（证明存在性定理）

刻画自然标架场的运动

自然标架场运动公式为：

\[ \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u^{\alpha}}=\boldsymbol{r}_\alpha\\ \displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{r_\alpha}}{\partial u^{\beta}}=\boldsymbol{\Gamma}^{\gamma}_{\alpha\beta}\boldsymbol{r_\gamma}+b_{\alpha\beta}\boldsymbol{n}\\ \displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{n}}{\partial u^{\beta}}=-b^\gamma_\beta\boldsymbol{r}_\gamma \end{cases} \]

曲面论唯一性定理

内容：第一第二基本形式唯一确定一张曲面

证法：构造标架向量相减后做内积的函数，然后求偏导证明函数为0，得到标架处处相同，再构造函数证明\(\boldsymbol{r}\)本身相同

Gauss-Codazzi方程（曲面论基本定理）

研究第一第二基本形式\(\varphi=g_{\alpha\beta}\mathrm{d}u^\alpha\mathrm{d}u^\beta\)和\(\psi=b_{\alpha\beta}\mathrm{d}u^\alpha\mathrm{d}u^\beta\)的内在关系，也就是相容性条件。

由求偏导与自变量顺序无关：

\[ \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial}{\partial u^\beta}\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\gamma}=\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta}\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial u^\beta}\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\gamma}=\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta}\\ \end{cases} \]

代入运动公式：

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\partial}{\partial u^\beta}(\Gamma^\delta_{\alpha\gamma}\boldsymbol{r}_\delta+b_{\alpha\gamma}\boldsymbol{n})=\frac{\partial}{\partial u^\gamma}(\Gamma^\delta_{\alpha\beta}\boldsymbol{r}_\delta+b_{\alpha\beta}\boldsymbol{n})\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial u^\beta}b^\delta_\beta\boldsymbol{r}_\delta=\frac{\partial}{\partial u^\gamma}b^\delta_\gamma\boldsymbol{r}_\delta \end{cases} \]

求偏导后，可以一一对应得到三条方程：

\[ \begin{cases} \displaystyle\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\Gamma^\delta_{\alpha\beta}-\frac{\partial}{\partial u^\beta}\Gamma^\delta_{\alpha\gamma}+\Gamma^\eta_{\alpha\beta}\Gamma^\delta_{\eta\gamma}-\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}\Gamma^\delta_{\eta\beta}=b_{\alpha\beta}b^\delta_\gamma-b_{\alpha\gamma}b^\delta_\gamma\\ \displaystyle\frac{\partial b_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial b_{\alpha\gamma}}{\partial u^\beta}=\Gamma^\delta_{\alpha\gamma}b_{\delta\beta}-\Gamma^\delta_{\alpha\beta}b_{\delta\gamma}\\ \displaystyle\frac{\partial b^\alpha_\beta}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial b^\alpha_\gamma}{\partial u^\beta}=-\Gamma^\alpha_{\eta\gamma}b^\eta_\beta+\Gamma^\alpha_{\eta\beta}b^\eta_\gamma \end{cases} \]

后两个方程其实是等价的，被称为Codazzi方程。而对第一个方程（Gauss方程），如果我们令

\[ R^\delta_{\alpha\beta\gamma}=\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\Gamma^\delta_{\alpha\beta}-\frac{\partial}{\partial \beta}\Gamma^\delta_{\alpha\gamma}+\Gamma^\eta_{\alpha\beta}\Gamma^\delta_{\eta\gamma}-\Gamma^\eta_{\alpha\gamma}\Gamma^\delta_{\eta\beta} \]

其中\(R^\delta_{\alpha\beta\gamma}\)称作Riemann记号，则方程变为：

\[ R^\delta_{\alpha\beta\gamma}=b_{\alpha\beta}b^\delta_\gamma-b_{\alpha\gamma}b^\delta_\gamma \]

即

\[ R_{\alpha\delta\beta\gamma}=b_{\alpha\beta}b_{\delta\gamma}-b_{\alpha\gamma}b_{\delta\beta} \]

再由Riemann记号的对称性，以及对Codazzi方程的试验，可知这两个含字母的方程实际上只涵盖三个方程，也就是真正的Gauss-Codazzi方程：

\[ \begin{cases} R_{1212}=b_{11}b_{22}-(b_{12})^2\\ \displaystyle\frac{\partial b_{11}}{\partial u^2}-\frac{\partial b_{12}}{\partial u^1}=-b_{2\gamma}\Gamma^\gamma_{11}+b_{1\gamma}\Gamma^\gamma_{12}\\ \displaystyle\frac{\partial b_{21}}{\partial u^2}-\frac{\partial b_{22}}{\partial u^1}=-b_{2\gamma}\Gamma^\gamma_{21}+b_{1\gamma}\Gamma^\gamma_{22}\\ \end{cases} \]

曲面论存在性定理

以上是从“已知曲面”来分析“二次微分式”，接下来倒着推，推导曲面的存在性定理。思路就是利用Gauss-Codazzi方程作为条件，求解运动公式的偏微分方程，再构造函数来证明得到的标架满足\(\boldsymbol{r_\alpha}\cdot\boldsymbol{r_\beta}=g_{\alpha\beta}\)，二者与法向量垂直，法向量模为1；也就是一些自然标架场的特征。

张量计算

Einstein和式约定小贴士

在和式约定那兵荒马乱的希腊字母中，我将其分为两类字母：一类是要表示的“目标变量”，一类是只用于标记求和的“求和变量”（学名叫做“哑指标”）。

在一个单项式中，哑指标可以进行随意变化。

在一个单项式中，一个指标不可以出现三次及以上，不然会导向一些可怕的结果。（比如硬着头皮求\(\displaystyle\frac{\partial g^{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}\)）

在进行运算时，需要时刻注意式子里的求和变量，要尽量去简化哑指标的个数，以窥探式子的真面貌，看起来也更简洁。

张量计算重要公式总结

\[ \begin{cases} b^\gamma_\beta=b_{\beta\xi}g^{\xi\gamma},\; b_{\gamma\beta}=b^\xi_\beta g_{\xi\gamma}\\ \Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\Gamma_{\xi\alpha\beta} g^{\xi\gamma},\; \Gamma_{\gamma\alpha\beta}=\Gamma^\xi_{\alpha\beta} g_{\xi\gamma}\\ \displaystyle \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}=\Gamma_{\alpha\beta\gamma}+\Gamma_{\beta\alpha\gamma}\\ \displaystyle \frac{\partial g^{\alpha\beta}}{\partial u^\gamma}=-g^{\alpha\delta}\Gamma^\beta_{\delta\gamma}-g^{\beta\delta}\Gamma^\alpha_{\delta\gamma} \end{cases} \]