三角形内心的向量表示推导

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结论

\[ a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0} \]

推导

\[ \begin{align*} b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}&=b(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})+c(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})\\ &=(b+c)\,\overrightarrow{OA}+b(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})+c(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})\\ &=(b+c)(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD})+\boldsymbol{0}\\ &=(b+c)(\overrightarrow{OD})\\ &=a\overrightarrow{AO} \end{align*} \]

\[ \therefore a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0} \]

其中连用两次对角线的比例关系。

另

由此可以推导出内心的坐标表示：

$$ \[\begin{aligned} x&=\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}\\ y&=\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \end{aligned}\]